一周强化

一、一周知识概述

　　本周学习了二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，“取特例”来研究问题的一种数学方法．并利用它们去求所指定的二项展开式中某项或某项的系数，求余数，证明整除等问题．注意二项展开式的特性，二项式定理的正用、逆用及通项公式的正确运用；二项式系数与二项展开式中每项的系数的区别和联系．

二、重难点知识选讲

1、二项式定理：

　　

　　等式右边的多项式就叫做的二项展开式．

　　对于二项式定理有5点注意事项：

　　①不得随意变更展开式中各项的顺序；

　　②二项展开式共有n＋1项；

　　③系数依次为；

　　④a的指数从n起依次减少1，直到0为止，而b的指数以0起依次增加1，直到n为止；

　　⑤a、b可以是数，也可以是式（单项式，多项式分式，根式等）．

　　我们既要做到能写出二项展开式，又要做到能逆用公式，同时还能使用它解决一些整除问题．

例1、已知，，求S的值.

[解析]

例2、求证：能被7整除.

[解析]

2、二项展开式的通项公式

　　二项展开式中的第r＋1项为. (r＝0，1，2，… ，n).

　　这里需注意此通项公式是对这个标准二项式而言的.若是或，则分别为；.

　　利用二项展开式我们可求指定的一些特殊项（如常数项，有理项，整数项等）和一些项的系数、二项式系数等．

　　这里要特别注意区别项的系数与项的二项式系数的区别.

　　例如的二项展开式的第r＋1项的系数与二项式系数分别为和.

例3、求展开所得的x的多项式中，系数为有理数的项数是多少？

[解析]

例4、求的展开式中x2的系数等于多少？

[解析]

3、二项式系数的性质及“取特例”研究问题的数学方法

　　（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

　　（2）增减性与最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数 最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项系数相等并且最大.

　　（3）二项展开式中的二项式系数和为2n，即.

　　（4）二项展开式中奇数次与偶数项的二项式系数和相等，即

　　.

　　（5）“取特例”研究问题的数学方法是一个重要的方法，使用它对“任意”都成立的问题的探究与求解，在数学各章节中都有具体例子，它也是我们探究其它问题，寻找、发现解决问题的突破口的一种方法.

例5、若，则

　　　的值为（）

　　A．0　　　　　B．2　　　　　　C．－1　　　　　　D．1

[解析]

例6、的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大和系数最大的项.

[解析]