一周强化

一、一周知识概述

　　本周主要学习了二项式定理，用时五课时．主要内容有二项展开式，二项展开式的通项，二项式系数等．

二、重难点讲解

1、二项式定理

（n∈N＋）.

公式右边的多项式叫做的二项展开式.

二项展开式的通项公式.

　　说明：（1）二项展开式具有以下特征：

　　①项数：共有n＋1项；

　　②系数：依次为；

　　③指数：a的指数从n起依次减少1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止；各项a，b的指数之和恒为n.

　　（2）通项表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定；公式表示的是第r+1项，而不是第r项；公式中的a,b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n．

　　（3）a,b可以是单项式、多项式、分式、根式等.如

　　（n∈N*），

　　.

例1、求的展开式中的第4项的二项式系数，第4项的系数和含的项.

[解析]

例2、求的展开式中x2的系数.

[解析]

2、二项式定理的应用

　　（1）利用二项式定理进行近似计算

　　利用二项式定理求幂的近似值，先将底数化为一个整数与一个绝对值较小的数的代数和，再利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．

　　（2）利用二项式定理解决整除问题．

　　利用二项式定理解决有关多项式的整除问题，关键是将所给多项式中的幂通过恒等变形变为二项式形式，使幂的底数两项中一项含有除式（或除式的因式），而另一项绝对值较小，然后展开证明．

例3、求0.955精确到0.01的的似值.

[解析]

例4、求证7777－1能被19整除.

[解析]

3、二项式系数的性质

　　（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

　　（2）增减性与最大值.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.

　　（3）二项式系数的和为2n,即.

　　说明：（1）这里是二项式系数（即组合数，r=0,1,2,…,n）的性质，而不是二项展开式系数的性质.

　　（2）当n是偶数时，中间一项的二项式系数是；当n是奇数时，中间两项是，.

　　（3）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即

　　.

　　（4）对二项式和其他恒等式中的字母赋值，就可得到各种不同的等量关系.

例5、已知，求：

（1）

（2）

（3）

（4）.

[解析]

例6、（1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

[解析]