（2）互斥事件与对立事件的区别和联系：
互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此交集是空集，事件A的对立事件
所包含的结果组成的集合，是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集．
（3）互斥事件的概率：
如果事件A、B互斥，则P（A＋B）=P（A）＋P（B）．（简称加法公式）
如果事件A1，A2，…，An是彼此互斥事件，则
P（A1＋A2＋…＋An）=P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．
特别地，若A、B是对立事件，则 P（A＋B）=P（A）＋P（B）＝1，即
，上面的公式还可以得到
．
当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，使概率的计算得到简化．
从集合角度来看，事件A、B互斥，指事件A、B所含结果组成的集合交集为空集，所有事件的结果构成全集U，则：
例1、某工厂一个班组里共有7个男工，4个女工，现要选3个代表去先进单位参观学习，问3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
[解析]
例2 、今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率．
[解析]
例3 、袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：
（1）3只全是红球的概率；
（2）3只颜色全相同的概率，
（3）3只颜色不全相同的概率；
（4）3只颜色全不相同的概率．
[解析]
2、相互独立事件
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
（1）事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，前者指两个事件不可能同时发生，后者指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．一般，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为相互独立事件是以它们能够同时发生（如果其中没有不可能事件）为前提的．一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与
，
与B，
与
也都是相互独立的．
要注意，相互独立的几个事件，任一事件的发生，对其各个事件是否发生没有影响．但其中若干事件同时发生的事件可能对其余某一事件发生有影响．
（2）相互独立事件同时发生的概率
①两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
．
一般地，如果事件A1、A2、…An相互独立，那么n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率之积，即
（3）n次独立重复试验恰好发生k次的概率．
①独立重复试验的意义：指同样的条件下，重复地各次之间相互独立地进行的一种试验，也称为贝努里试验．在这样的试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
②若在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这一个事件恰好发生k次的概率为
．
如果把n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率记为
,根据上述分析，可得为
．
（4）二项分布与二项式定理的联系．
由于在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：
．
利用二项式定理：
可见
就是
的展开式中的第k＋1项，所以也把
叫二项分布公式．
例4、已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为20%．
（1）假定有5门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有90%以上的可能被击中，需至少布置几门这类高射炮？
[解析]
例5 、如图，用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作．已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为
．求：
