一周强化

一、一周内容概述

1、知道什么是单摆以及摆角很小时，单摆的振动是简谐运动

2、知道单摆的周期公式及其应用

3、了解等效摆长与等效加速度的概念

4、了解调节摆长可以改变钟的快慢

二、重点知识讲解

　　单摆的振动是一种比较特殊的简谐运动，对它的学习可以加深我们对简谐运动的理解。

（一）什么叫单摆

　　如图1所示，一条细线连着一个小球在竖直面内摆动，这种装置，就可以称为单摆。但是有两个条件：

1、摆线不可伸缩，摆线质量不计

2、摆球的直径远小于摆线的长度。

（二）什么情况下单摆的振动是简谐运动

　　如图2所示，单摆在平衡位置两侧来回摆动，在运动的过程中受到两个力的作用。

1、摆球的重力mg

2、摆线的拉力T

　　当小球运动到图2中，B位置时，其受力如图，将重力mg分解成两个力：

1、沿切线方向向下的分量

2、沿半径方向向外的分量

　　其中T、G2的方向均与运动方向垂直，不会产生回复力的效果。所以G1才是使单摆回到平衡位置的回复力。

　　在振幅很小（）的情况下。

　　

　　而就是此时摆球偏离平衡位置的位移x，而且从图上也可以看出，两者的方向在偏角较小时正好相反。

　　

　　所以，在摆角较小的情况下（），单摆的振动可以认为是简谐运动。

　　注意：图2中，G1不能认为等于重力G和拉力T的合力，因为T与G2一般不相等，不能抵消。一般情况下：，且

　　

　　即T与G2的合力作为向心力。

　　特殊地：当单摆位于左、右两端最大位移位时，因为此时

（三）单摆的周期公式及其应用

　　因为单摆的回复力F与位移x之间的正比例系数为k，所以，由简谐运动周期的一般公式，可得：

　　

　　即单摆运动的周期为：

　　

　　从该式中可以看出，单摆的周期只与摆长l及重力加速度有关，与振幅（即偏角）无关，这一性质叫做单摆的等时性。

　　将公式移项后，可以得出：

　　

　　这是一种测量重力加速度的方法。

（四）等效摆长和等效加速度

　　对于一些特殊的摆，如图3所示：A为双线摆，B为圆弧面上的摆球，C为电梯内的单摆，其周期应如何运算？

　　以上摆的周期的计算可以利用等效摆长和等效加速度的概念来解释：

　　对于A图，双线摆相当于一个摆长为的单摆，所以它的周期为

　　

　　对于B图，它相当于一个摆长为R的单摆，所以它的周期为

　　

　　对于C图，在电梯中的单摆，当电梯加速上升时，因为此时摆球超重，其视重为，所以此时的等效加速度为，所以它的周期为

（五）改变钟的快慢

　　对于这一类问题，解决时抓住以下三点：

1、一摆钟的机械结构是固定的，所以不管是准确的钟还是不准的，摆锤摆动一次，钟面指示的时间都相同。

2、一段时间内摆锤的摆动次数：

　　准确钟　　　

　　不准的钟　　　

　　钟面上相应的批示时间为

　　准确钟　　　t

　　不准的钟　　（“+”表示钟快；“-”代表钟慢）

3、同一时间内钟面指示时间之比等于摆动次数之比。

　　

　　即钟面指示时间与钟的周期成反比。

　　特殊地，对于一昼夜而言，就有：

　　

三、典型例题

例1、单摆的周期在下述情况下会变大的有：（　）

A．摆锤质量增大

B．摆长减小

C．单摆从赤道移到北极

D．单摆从海平面移到高山

分析：

　　由单摆周期公式可以看出：周期T只与l及g有关，与摆锤质量无关，从赤道到北极，g增大，从海平面到高山，g减小，所以要使周期变大。应选D。

答案：D

例2、如图4所示，一单摆周期为T，（）则下列说法正确的是（ ）

A．使摆球质量增加，则周期变小

B．使摆动的最大角度减小，则周期也变小

C．摆球由运动时间为T/4

D．摆球由时速度增大，加速度减小。

分析：

　　单摆的周期与振幅，质量无关，α变小只是振幅变小，故A、B错。

　　摆球由过程是全振动，所以运动时间为

　　由B向0时，接近平衡位置，所以速度变大，回复力减小，加速度变小。

答案：C、D

例3、如图5所示，A、B两球放于一段光滑圆弧曲面上，它们与圆弧最低点O之间的弧长 ，但均远小于圆弧半径。C球位于圆弧的圆心处，三球开始运动后，到达O点，所需时间的大小关系为：（　）

A．　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　D．

分析：

　　由于均远小于半径R，所以A、B球释放后均做简谐运动，，这一周期只与半径R、g有关，与振幅无关。s

　　

　　C球开始运动后应做自由落体运动。

　　

　　

答案：C

例4、将地球上的秒摆（周期为2s的摆称为秒摆）拿到月球上去，它的振动周期变为多少？已知地球上重力加速度是月球的6倍。

分析：

　　秒摆从地球拿到月球，摆长不变，但g发生了变化，根据周期公式可求解：

　　

　　

　　　

答：振动周期变为4.9s

说明：将单摆从地面转到其它天体上时，根据万有引力定律可知：

　　

　　可得：

　　得

例5、在地面上有一单摆，周期为T，如果把此单摆放在该地的山顶上，山顶距地面的高度为地球半径的千分之一，则该单摆的周期变为多大？

分析：

　　当单摆的高度升高后，重力加速度将变小，从中可求出其周期的变化。

解：

　　在地球表面：

　　

　　故到山上后

　　令山顶上周期为T′

　　

　　由

　　

　　周期变为原来的1.001倍。

例6、已知悬挂在地面附近的摆长为l的单摆周期为T，地球半径为R，那么地球的密度是多少？

分析：

　　利用单摆的知识可以求出近地面的重力加速度，联系万有引力的知识，即可求出密度。

解：

　　由求出：

　　

　　根据万有引力定律

　　

　　

答：地球的密度为

例7、北京和南京的重力加速度分别为，把在北京准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少？怎样调整？

分析：

　　由于从北京到南京，重力加速度减小，所以周期会变长，钟会变慢，要调快的话，就要将摆长减小。

解：

　　对于同一个钟，钟摆振动次数之比等于指针指示时间之比：

　　

　　∴到南京后钟一昼夜要慢26.46s

　　为了调整走时，只要使摆钟在南京的周期与北京的周期一样。

　　

　　即要将摆长减少为原来的0.9994倍。

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