一周强化

一、一周知识概述

　　本周复习的内容是高二（下）数学第九章的前半部分内容，即直线与平面的内容，共用时七个课时，空间角度问题和空间距离问题是难点，也是重点，教学中用时较多.

二、重、难点知识的归纳与剖析

（一）本周学习重点

1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理

　　判定定理1：若一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线就垂直于该平面．

　　判定定理2：若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

　　直线与平面的性质定理：若两直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

2、三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；反之，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．

3、平面与平面平行的判定定理与性质定理

　　（1）判定定理

　　　　　

　　（2）性质定理

　　　　　

4、平面与平面垂直的判定定理与性质定理

　　（1）判定定理

　　　　　①定义：二面角平面角θ=90°.

　　　　　②

　　（2）性质定理

　　　　　

（二）本周学习的难点

1、空间角度问题，有三种：

　　（1）异面直线所成的角，找角的方法是将异面直线平移成相交直线，相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角.

　　（2）直线和平面所成的角，找角的方法是寻找斜线在平面上的射影，斜线和射影所成的锐角就是斜线与平面所成的角.

　　（3）平面和平面所成的角，即二面角.寻找二面角的平面角的方法有三种：

　　①定义法；

　　②垂面法；

　　③利用三垂线定理或其逆定理.

2、空间距离问题，有六种：

　　（1）点点距离；（2）点线距离；（3）点面距离；

　　（4）线线距离；（5）线面距离；（6）面面距离。

三、例题点评

例1、如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB与BC的中点，EF与BD交于H.

（1）求二面角B1—EF—B的大小.

（2）试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论.

（3）求点D1到面EFB1的距离.

[解析]

例2、已知六边形ABCDEF的边长为a，沿此正六边形对角线AD折成二面角F—AD—C.

（1）求证：无论二面角F—AD—C多大，△FEC一定为直角三角形；

（2）若二面角F—AD—C为直二面角，求直线AD与CE的距离及直线AD与FC所成角的正切值.

[解析]

例3、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图所示）.

（1）求证：平面A1B1C1∥平面ACD1；

（2）求（1）中两个平行平面间的距离；

（3）求点B1到平面A1BC1的距离.

[解析]

例4、如图，已知两条异面直线AB与CD所成的角等于，且AB=m，CD=n，平面MNPQ与AB、CD都平行，且M、N、P、Q依次在线段AC、BC、BD、AD上．

　　（1）求证：四边形MNPQ是平行四边形．

　　（2）当M点在何位置时，□MNPQ的面积最大？最大面积是多少？

[解析]