一周强化

一、一周知识概述

1、棱柱、棱锥的定义：

　　（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱；

　　（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥.

2、棱柱、棱锥的性质：

　　（1）棱柱：

　　① 侧棱都相等，侧面是平行四边形；

　　② 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

　　③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.

　　（2）正棱锥：

　　① 各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形；

　　② 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；

　　③（定理）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面与底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比.

3、长方体的对角线：如图，

　　（1）长方体的对角线的长：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点处三条棱长的平方和；

　　（2）设长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为∠C1AB、∠C1AD、∠C1AA1 ，则有cos2∠C1AB ＋cos2∠C1AD ＋cos2∠C1AA1=1；

　　（3）长方体的一条对角线与一个顶点处的三个面所成的角分别为∠C1AC、∠C1AB1、∠C1AD1，则有cos2∠C1AC＋cos2∠C1AB1＋cos2∠C1AD1=2 ,

　　或sin2∠C1AC＋sin2∠C1AB1＋sin2∠C1AD1 =1；

4、棱柱、棱锥有关的公式：

　　（1）棱柱的侧面积：若直棱柱的底面周长为c，高为h, 则它的侧面积为

　　　　 S侧 = ch；

　　　斜棱柱的直截面(垂直于侧棱的截面)的周长为c，侧棱长为l，则它的侧面积为S侧 =cl；

　　（2）正棱锥的侧面积：若正棱锥的底面周长为c，斜高为h＇,则它的侧面积为

　　　　　S侧=ch＇；

5、正多面体：（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）

　　　　　　　

　　　　　　

正多面体一览表：

6、（1）定义

　　①球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面．

　　②球体：球面所围成的几何体．

（2）性质

　　①任意截面是圆面(经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆)．

　　②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且其中R为球半径，r为截面半径，d为球心到截面的距离．

　　（3）球的任何截面都是圆，过球心的截面是球的大圆，解球的问题，一般是作球的大圆，转化为平面图形来解决．

　　（4）在球的有关计算中，由球的半径R，截面圆的半径及球心到截面距离O′O构成的直角三角形，也是常用的关键图形．

二、重、难点知识的归纳与剖析

（一）本周复习的重点

1、棱柱和正棱柱的概念和性质。

2、棱锥和正棱锥的概念和性质。

3、欧拉定理和五种正多面体。

4、球的概念与性质。

5、球面距离是球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧（或半圆弧）的长度，这个弦长叫做这两点的球面距离.

6、两个公式

（1）球的表面积公式——S球面=4πR2（其中R表示球的半径）

（2）球的体积公式——（R同上）

7、正棱锥的侧面积和棱锥的体积公式

（c是底面周长，h′是斜高）

（h是高）

（二）本周复习的难点

　　（1）关于棱柱的定义

　　理解教材中的定义“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱”的准确含义．容易认为“有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形”就具备了棱柱的条件．其实，这是不严密的，因为存在“有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形”而不是棱柱的几何体．要理解这一定义的本质，是将棱柱的性质化为已知的面面平行、线线平行和多边形(当然这也是定义要求的)的性质．棱柱除定义外，没有另给出判定定理，所以今后要判定一个几何体是不是棱柱，只有通过定义．

　　(2)掌握棱柱中的特殊线和特殊面的概念和性质

　　直棱柱．正棱柱的侧棱垂直于底面，正棱柱的高线通过上、下底面正多边形的中心．

　　直棱柱．正棱柱的轴截面，过侧棱的截面都是矩形．垂直于轴的截面均是与底面全等的多边形．

　　(3)棱锥的定义和性质的理解

　　要从棱锥的定义、性质中理解到，棱锥问题主要是三角形问题(因为它的侧面、对角面都是三角形)．

　　平行于底面的截面性质，它包括形状和大小两个方面的性质(形状，和底面是相似的多边形；大小，它和底面面积的比等于顶点到截面和顶点到底面距离的平方比)．

　　(4)正棱锥的定义和与定义中的条件等价的条件

　　在棱锥中突出了正棱锥，因而对正棱锥要特别注意．在正棱锥中，又突出了正三、正四、正六棱锥，因为它们最具有代表性，在实践中用得最多．在教材中只给了正棱锥的定义，没有给出判定定理．但是在许多情况下，要判定一个棱锥是否是正棱锥，需要我们掌握一些与正棱锥的两个条件等价的条件．

　　正多边形内外心重合的多边形各边相等且有一个外接圆的多边形在三角形中的四心“外心、内心、垂心、重心”中有任意两个重合的三角形是正三角形．

　　顶点在底面内的射影是底面多边形的外心各侧棱都相等各侧棱与底面所成角相等．

　　顶点在底面内的射影是底面多边形的内心顶点到各边的距离相等，且垂足都在各连线的内部侧面与底面所成的角都相等．

　　以上三组等价条件中，满足任意两个条件的棱锥都是正棱锥．

3、掌握球的表面积、体积公式．

4、利用欧拉定理求简单多面体的面数、顶点数、棱数。

三、例题点评

例1、如图, 正四棱柱A1B1C1D1—ABCD的底面边长为a ，高为h, 过点B的直线EF在正四棱柱下底面所在的平面内，且EF⊥BD,过EF作与底面成30°角的平面，该平面与正四棱柱的截面为BGHK．求四边形BGHK的周长和面积．

[解析]

例2、如图所示，在三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角度数.

[解析]

例3、如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是(　)

[解析]

例4、将半径均为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离.

[解析]