本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知a、b、c是空间三条直线，α、β是平面，则下列命题中正确的是（　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若c是a在β内的射影，且b⊥c，则a⊥b

C．若bβ，b⊥α，则β⊥α

D．若bα，c∥α，则b∥c

2．下面给出的四个命题：

（1）和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线

（2）有三个角是直角的四边形是矩形

（3）如果两个二面角的半平面分别对应垂直，则这两个二面角的平面角相等或互补

（4）底面是正五边形的棱柱若有两个侧面为矩形，则其一定为正棱柱

在上述命题中，真命题的个数为（　）

A．3　　　　　　　　　　　　　　　B．2

C．1　　　　　　　　　　　　　　　D．0

3．已知甲地在地球的北半球，乙地在赤道上，由于地球自转，经一昼夜，甲地转过的路程是乙地转过路程的倍，则甲地在（　）

A．北纬30°圈上　　　　　　　　　 B．北纬45°圈上

C．北纬60°圈上　　　　　　　　　 D．不能确定

4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（　）

A．线段B1C

B．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段

D．BC中点与B1C1中点连成的线段

5．如图，把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的折线折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高为（　）

A．　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　 D．

6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为（　）

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　 D．

7．给出下列命题

①有一个侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱；

②底面为正多边形的棱柱为正棱柱；

③顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱锥是正棱锥；

④A，B为球面上相异的两点，则通过A，B的大圆有且仅有一个．

其中正确命题的个数是（　）

A．3个　　　　　　　　　　　　　　B．2个

C．1个　　　　　　　　　　　　　　D．0个

8．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，M、N分别为棱AA1和BB1中的中点，若θ为直线CM和D1N所成的角，则sinθ=（　）

A．　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　D．

9．体积相等的球、正四面体和正方体，它们的表面积间的大小关系为（　）

A．S球<S正四面体<S正方体

B．S正四面体<S球<S正方体

C．S球<S正方体<S正四面体

D．S正方体<S球<S正四面体

10．有一个正三棱锥，过它的一条侧棱与其高作这棱锥的截面，其截面面积是底面面积的，则侧面与底面的夹角的余弦值为（　）

A．　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　 D．

11．不共面的三条直线l1、l2、l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a（定值），则三棱锥A－BDC的体积（　）

A．由A点的变化而变化

B．由B点的变化而变化

C．有最大值，无最小值

D．为定值

12．已知棱长为1的正方体容器ABCD－A1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）（　）

A．　　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　　D．

[提示]

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。）

13．半径为10cm的球被两个平行平面所截，截得的面积分别为36πcm2，64πcm2，则这两个平面间的距离是____________．

14．已知平面α及以下三个几何体：①长、宽、高均不相等的长方体；②底面为平行四边形，但不是矩形和菱形的四棱锥；③正四面体．这三个几何体中，在平面α上的射影可以是正方形的几何体是___________．

15．如图，已知PA垂直于等腰梯形ABCD所在的平面α，且AB=BC=CD=PA=AD=1，BC∥AD，则点P到CD的距离为_________，平面PBC与平面α所成的角为_______（用反正切表示）．

16．如图，将三棱锥P－ABC（图1）沿三条侧棱剪开后，展开如图（2）的形状，其中P1、B、P2共线，P2、C、P3共线，且P1P2=P2P3，则在三棱锥P－ABC中，PA与BC所成的角为__________．

[答案与提示]

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=a，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线．

（1）画出的位置；

（2）设∩A1B1=P，求线段PB1的长．

[答案]

18．（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为a的菱形，∠A=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中点．

（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；

（2）求点E到平面PBC的距离．

[答案]

19．（本小题满分12分）如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角．

（1）求证：AC⊥平面ABC1；

（2）求证：C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；

（3）求此三棱柱体积的最小值．

[答案]

20．（本小题满分12分）如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°，PA=2，AB=AC=，以PA为直径的球和PB、PC交于B1、C1，求B1、C1两点的球面距离．

[答案]

21．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD边长为1，M、N分别是DA、BC上的点，且MN∥AB，现沿MN折成直二面角AB－MN－CD．

　　（1）求证：平面ADC⊥平面AMD；

　　（2）设AM=x(0<x<1)，MN到平面ADC的距离为y，试用x表示y；

　　（3）点M在什么位置时，y有最大值，最大值为多少？

[答案]

22．（本小题满分14分）如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．

（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；

（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．

[答案]