一周强化

一、一周知识概述

本周复习内容是高二数学（下）第十章——排列、组合和概率的前半部分内容.

　　1．分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么，完成这件事共有 N = m1＋m2 ＋…＋mn 种不同的方法.

　　2．分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同的方法. 那么，完成这件事共有N = m1×m2 ×…×mn种不同的方法.

　　注：①分类问题中，各种方法相互独立，其中任何一种方法都可以独立完成这件事；

　　②分步问题中，各个步骤中的方法相互依存，缺一不可，只有各个步骤都已完成，才算完成这件事.

　　3．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；

　　排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作, 其公式为

　　= n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）=,

　　即, 等于m个连续的自然数相乘，其中最大的一个为n .

　　特例：①= n（n－1）（n－2）…·3·2·1 = n！，叫做全排列；

　　　　　②规定：0！= 1 .

　　4．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；

　　组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作,其公式为

　　= ==；

　　组合数的性质：

　　（1）；

　　（2）.

　　特例：.

　　5．二项式定理：

　　.

　　其中右边的多项式叫做的二项展开式，共有（n＋1）项；各项的系数（r：0，1，2，…，n）叫做二项式系数；式中的叫做二项展开式的通项，其通项公式为Tr+1=.（表示展开式的r+1项）

　　特例：在二项式定理中，

　　（1）设a=1,b=x , 则得，；

　　（2）设a=1,b=1, 则得，；

　　（3）设a=1,b=－1, 则得，

　　　　，

　　　　即=.

　　　　　（）

　　注：①若在二项展开式中第（r＋1）项最大，则有，

　　　　　求r ；

　　　　②二项式系数的性质：

　　　　1）对称性：与首、末两端等距离的两项的二项式系数相等；

　　　　2）增减性与最大值：前半部分，即r＜时，二项式系数递增；

　　　　　 后半部分，即r＞时，二项式系数递减；

　　　　　 当n为奇数时，中间两项，即、＋1两项的二项式系数最大；

　　　　　 当n为偶数时，中间一项，即项的二项式系数最大.

　　　　3）各二项式系数的和：；

　　　　4) 相邻两项系数的关系： .

二、重、难点知识的归纳与剖析

（一）本周学习的重点

　　1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.

　　2、理解排列的意义，掌握排列计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.

　　3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.

　　4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.

（二）本周学习的难点

　　1、排列与组合的综合应用

　　（1）相邻问题——捆绑法；

　　（2）不相邻问题——插空法；

　　（3）元素比较少而限制条件较多的问题——枚举归纳法；

　　（4）先组合，后排列，其求解的基本思路是先选元，后排列，或先局部，后整体；

　　（5）分类讨论要注重一类，照应全局.

　　2、正确理解二项式的展开式特征及指数、项数、项、系数、二项式系数，能熟练顺用、逆用，并注意变用二项式定理.

三、例题点评

例1、节目单上原有6个节目，须再添加3个节目，若要求原节目顺序不变，则不同的添加方法有多少种？

分析：

　　本题的实质是要求某些元素必须相间，而某些元素相连的问题，只要将新节目“见缝插针”地插到原节目中去即可，新节目可以相连也可以相间。此题亦可不管原6个节目的顺序只须将3个节目摆入一起的“9”个位子.

解答：

　　原6个节目间有5个空档，连同头，尾共有7个空档可用来安插新节目，一个新节目插入这7个空档，有种插法，而原节目顺序不变；插完一个节目后，空档增加为8个，再用一个节目插入，则有种插法，而原节目顺序未变；最后一个新节目则面临着9个空档，有种插法.由分步计数原理，共有种.

点评：

　　“插空法”是解决元素不相邻的常用方法，此时要弄清谁固定，谁插入和空档的个数，特别是此题应注意每插入一个元素后，空档便增加一个的情形.此题还可运用排列来处理即种.

例2、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．

分析：

　　可分两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理即可得出结论．

解：

　　如图所示，由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．

　　当S、A、B已染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3；若C染颜色2，则D可染颜色3或4或5；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C与D还有7种染法．

　　由分步计数原理，染色方法总数＝60×7＝420．

评析：

　　运用两个原理解答时是先分类后分步，还是先分步后分类应视具体问题而定．另外为了问题的简化和表达的方便，数学中经常将具有实际意义的事物符号化、数字化．

例3、已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项，求的展开式中a－1项的二项式系数.

分析：

　　要求的展开式中a－1项的二项式系数，首先要由已知条件确定n.另外应注意展开式的各项系数之和的求法——“赋值法”以及特定项的求法.

解答：

　　依题意，令a=1，得展开式中各项系数和为

　　展开式中 的通项为Tr＋1，

　　，

　　若Tr＋1为常数项，则，即r=2.故常数项为

　　

　　∴ 所求a－1项的二项式系数为.

点评：

　　通过此题我们要加深理解“二项式系数”与“项系数”的概念，以及掌握求二项式所有项的系数和的方法——“赋值法”：设f(x)=(a＋bx)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则：

　　（1）a0＋a1＋a2＋…＋an=f(1)

　　（2）a0=f(0)

　　（3）a0＋a2＋…＋a2k＋…=

　　（4）a1＋a3＋…＋a2k＋1＋…=

例4、二次函数y=ax2＋bx＋c的系数a，b，c在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？

分析：

　　先将坐标原点在抛物线内部的特征性质等价转化为a,b,c的限制，再去确定满足条件的数对(a,b,c).

解答：

　　由图形特征分析：a﹥0，开口向上，坐标原点在内部，开口向下，原点在内部，所以对于抛物线y=ax2＋bx＋c来讲，原点在其内部，则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b，故满足题设的抛物线共有=144条.

点评：

　　这是一首排列、组合与解析几何的综合题，等价的将图形性质转化为数量关系是解决问题的基础和关键.