厦门家教_厦门家教网_金老师家教_专题一实际应用问题（理）


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专题一　实际应用问题（理）

一周强化

一、知识方法概要

　　利用数学知识解决实际应用问题，是学习数学的一个重要的目的，也是高考的热点题型之一，这类题目主要考查学生如何将一个用文字语言叙述的应用题，概括、抽象为一个纯粹的数学化问题，如何抓住命题中所蕴涵的数学信息，恰当、准确地转化为一个数学模式是这类问题的关键．

1、高考中的实际应用题可以概括为三种类型：

　　一是由课本或其他书籍资料中原题改编的、与实际生活相关的应用题；

　　二是与横向学科（如物理、化学等）有联系的应用问题；

　　三是从社会热点出发，有实际生活背景、立意新颖的数学问题．

2、要顺利解决数学应用问题，首先应多接触社会、关注人口、土地、资源、环境、经济、销售、生产、交通、道路等热点问题；其次解答一个实际应用题要读懂题意，能将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系．构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化．然后再用数学知识解答．这其中较难把握的是“问题情景的数学化”，因此要强化训练“理解语言能力”和“数学抽象化能力”．

一般来说：解决应用题的思路与方法：

　　（1）审题：分为“读懂”和“加深理解”两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）

　　（2）建模：把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题．

　　（3）解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．

　　（4）检验：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．

二、典型例题选讲

例1、某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2002年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2002年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完.

　　(Ⅰ)将2002年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；

　　(Ⅱ)该企业2002年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?

　　(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

分析：

　　将利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数，可以利用利润＝销售收入—生产成本—促销费建立其关系式；求促销费投入多少万元时，企业的年利润最大可以利用二次函数的单调性求解．

解：

　　（Ⅰ）由题意：将

　　当年生产x(万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用

　　　　　　　　　　　　　　　　＝32x＋3＝32（3－）＋3，

　　当销售x（万件）时，年销售收入＝150%［32（3－＋3］＋

　　由题意，生产x万件化妆品正好销完

　　∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费

　　即（t≥0）

　　（Ⅱ）∵≤50－＝42万件

　　当且仅当即t＝7时，ymax＝42

　　∴当促销费定在7万元时，利润增大.

例2、一条直角走廊宽1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米，问要想顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？

分析：

　　设角将有关线段用三角函数表示，利用三角函数的有界性和函数的单调性得到最大长度．

解：

　　如图，延长AB交直角走廊于A1、B1，设∠CDE1＝q，则∠B1A1E1＝q，q∈(0，)，

∵CD＝AB＝A1B1－AA1－BB1，

而A1B1＝1.5(＋)，AA1＝cotq，BB1＝tanq，

∴CD＝1.5(＋)―cotq―tanq＝.

令sinq＋cosq＝t，则t∈(1，]．令f(t)，

则当t＝时，两项均取得最小值，即q＝时，＝3－2，

即CDmin＝3－2，故平板车的长度不能超过3－2米．

例3、某城市为改善交通状况，需要进行路网改造．已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟新建x个标段道路和n个道路交叉口，n与x满足关系式n=ax＋b，其中b为常数．设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大路网越畅通，记路网的堵塞率为μ，它与β的关系为.

　　（1）写出新建的道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；

　　（2）若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间（包含5%与10%），而且新建道路标段数为原有道路标段数的25%，求此时新建道路的总造价与新建道路交叉口的总造价之比P的取值范围（结果用a、b表示）；

　　（3）若b=4，a变化时，在（2）的假设下，求使路网最畅通时，造价比p的最大值．

分析：总造价=平均造价×标段道路数（或道路交叉口数）

解析：

　　（1）由题意可得：y=kβ(ax＋b)

　　（2）因为，所以

　　　　因为0.05≤μ≤0.1，则，所以4≤β≤9

　　　　即，故p的取值范围是

　　（3）要使路网最通畅，即β=9，又因为b=4，所以

　　　　

　　　　（当且仅当时等号成立）.

　　　　所以造价比的最大值为.

例4、如图，某隧道设计的双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．

　　（1）若最大拱高h高6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

　　（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）

分析：

　　可构造椭圆模型解题，因此要建立直角坐标系．

解答：

　　（1）建立恰当的直角坐标系，如图，先求椭圆的标准方程，只需两个独立条件，题设恰好提供了两个条件．