一周强化

一、知识精析

　　函数与方程思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点．

　　函数思想，是用运动、变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究具体数学问题中的数量关系，通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．

　　方程思想，就是分析数某些数学问题中的变量间的等量关系，根据题设本身总量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的一种思想方法。

　　函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可以看成是一个方程，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数。因此，许多有关方程的问题可用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也可以用方程的方法解决。

　　函数思想的应用：（1）在求变量的取值范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函数，从而转化为求该函数的值域；（2）构造函数是函数思想的重要体现；（3）运用函数思想要抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，从而更快更好地解决问题。

　　运用方程思想解题时应注意的问题：（1）公式可以理解为方程（或等量关系）。于是，恒等式证明可以理解为方程变形，求值问题可以看成解方程问题；（2）曲线方程的确定及其位置关系的讨论，本质上就是方程（组）的求解或方程的根在某一实数区间的充要条件的确定；（3）函数的许多性质可以归纳为对方程的研究。

　　函数与方程的思想方法在高考中是常考的思想方法之一．函数与不等式也可以相互转化，它涉及到数学中的各分支．就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．高考中涉及函数与方程思想的问题既出现在选择题、填空题上，还出现在解答题上。能全面考查思维的深刻性，并增强解决问题的创新意识和能力。

二、典型例题讲解

例1、设f(x)是定义在（－∞,3]上的减函数，已知f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

分析：

　　本题应在定义域和增减性的条件下去掉函数符号f，使a从f中解脱出来．

解：

　　原式等价于a＋1＋cos2x≤a2－sinx≤3对x∈R恒成立

　　　　对x∈R恒成立

　　令t(x)=3＋sinx，则①对x∈R恒成立

　　a2≤tmin(x)=2　　③

　　令

　　则②对x∈R恒成立　　④

　　由③④可得所求实数a的取值范围是．

说明：

　　在有关不等式的问题中要区别以下命题：

　　(1)a＞f(x)恒成立a＞fmax(x)．

　　(2)a＜f(x)恒成立a＜fmin(x)．

　　(3)a＞f(x)有解a＞fmin(x)．

　　(4)a＜f(x)有解a＜fmax(x)．

例2、(1)已知数列{an}中，，求an的最大值；

　　(2)已知函数(x≥1)的反函数为f－1(x)，在数列{an}中，a1=1，an=f－1(an－1)(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．

分析：

　　(1)欲求{an}的最大值，可先确定数列{an}的单调性，只须比较an与an＋1的大小即可．

　　(2)要求bn的通项公式，可先确定an与an－1的递推关系．

解：

　　(1)∵，

　　∴当1≤n≤8(n∈N*)时，{an}是递增的；

　　当n≥9(n∈N*)时，{an}是递减的．

　　∴最大值．

　　(2)∵，

　　

　　∴．

　　又a1=1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

　　∴bn =n．

评注：

　　数列是一类特殊的函数，在解决某些数列问题时，可借助函数知识和方法求解．

例3、如图所示过椭圆C：的右焦点，作一直线l交椭圆C于M、N两点，且M、N到直线的距离之和为，求直线l的方程．

分析：

　　(1)先求椭圆的右焦点；(2)运用弦长公式和椭圆的定义两种途径求弦长|MN|，建立方程求l的斜率k；(3)由点斜式写出l的方程．

解：

　　∵椭圆C的右焦点F2为(，0)，右准线为，离心率．

　　∴其中d1、d2分别为M、N到右准线的距离．

　　∵，

　　∴．

　　设l：

　　由消去y整理得.

　　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

　　

　　∵，∴．解得．

　　∴所求直线l的方程为：．

评注：方程思想是处理直线与二次曲线有关问题的基本方法．

例4、设函数，证明：

　　（1）存在二实数m1，m2(m1<m2)满足

　　（2）对于（1）中的m1，m2，有m1≤f(x)≤m2（m1≤m2）．

分析：

　　（１）即要证对任意x∈R，存在两个不同的m值，使－m＝恒成立，(2)即证函数的值域是(1)中求出的m1，m2决定的区间[m1，m2]．

解:

　　（1）由，得

　　（1－m）[x2＋2ax＋b－m(x2＋1)]=[(1－m)x＋a]2，

　　∴m2－(b＋1)m＋b－a2=0．

　　∵ △=(b＋1)2－4(b－a2)=(b－1)2＋4a2>0．

　　∴必存在两个实数m1，m2，即，使等式成立．

　　（2）令y=f(x)，则(x2＋1)y=x2＋2ax＋b，∴x2(1－y)＋2ax＋b－y=0．

　　∵x∈R，∴△=4a2－4(b－y)(1－y)≥0，

　　即y2－(b＋1)y＋b－a2≤0，即m1≤y≤m2．

反思：

　　曲线方程的确定及曲线位置关系的讨论，本质上就是方程（组）的求解或方程的根在某一实数区间的充要条件的确定。