（一）本周复习的重点
1、不等式有如下8条性质：
（1）a>b
b<a.（反身性）
（2）a>b,b>c
a>c.（传递性）
（3）a>b
a＋c>b＋c.（平移性）
（4）a>b,c>0
ac>bc；
a>b,c<0
ac<bc.（伸缩性）
（5）a>b≥0
an>bn,n∈N,且n≥2.（乘方性）
（6）a>b≥0
，n∈N，且n≥2.（开方性）
（7）a>b,c>d
a＋c>b＋d.（叠加性）
（8）a>b≥0,c>d≥0
ac>bd.（叠乘性）
2、两个重要不等式及其各种变形.
此外还有①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）.
推论：a2＋b2＋c2≥
(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）.
②am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm（a>0，b>0，m、n∈N*）
特别地：a3＋b3≥a2b＋ab2（a>0,b>0）；
a5＋b5≥a2b3＋a3b2（a>0,b>0）.
利用不等式定理求最值应注意三点
①正——不等式成立的条件；
②定——最值必须是不含自变量的定值；
③等——必须判断等号能否取得到.
如果利用不等式定理求最值时，“=”号确定取不到，则这种方法失效，应该考虑其他方法，一般考虑单调性法（即利用函数
(a>0)的单调性）.
3、不等式的证明
（1）比较法：
①求差比较法：要证a>b，只须证a－b>0．
②求商比较法：要证a>b，而b>0，只须证
．
（2）综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法．
（3）分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题．如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法．
（4）反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．
（5）换元法：换元法是指对结构较为复杂、量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式．
（6）判别式法：判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法．
（7）放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B≤B1，B1≤B2，…，Bi≤A或A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法．
（8）最值法：x≥y恒成立
；x≤y恒成立
．
4．不等式的解法
（1）简单的一元高次不等式的解法：一元高次不等式f(x)>0用根轴法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：
①将f(x)的最高次项的系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
④根据曲线显现出f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．
（2）分式不等式的解法：先将不等式整理成
的形式，再转化为整式不等式求解，即
；
（3）无理不等式的解法：转化为有理不等式求解．
（4）解指数不等式的基本途径有两个：一是化为同底得出af(x)<ag(x)(a>0，a≠1)的形式，它的同解不等式为：当a>1时，f(x)<g(x)，当0<a<1时，f(x)>g(x)；二是先用换元的方法解关于ax的不等式，再解最简指数不等式ax>b或ax<b．
（5）对数不等式的主要类型和解题方法是：
①
，
或0<f(x)<g(x) (0<a<1)．
②m[logaf(x)]2＋nlogaf(x)＋k>0，令logaf(x)=t，
转化为mt2＋nt＋k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合．
例1、已知x>0，y>0，且
，求x＋y的最小值.
分析：
此题属于求条件最值（x与y之间有一定的约束关系），解答关键是合理使用条件，如果从中解出x或y，再代入x＋y转化为一元函数的最值问题，显然是比较复杂的.但我们设法整体使用条件，解法就简捷多了。
解答：解法1
当且仅当
，即x=4,y=12时，上式等号成立.
故当x=4,y=12时，(x＋y)min=16.
解法2
由
，得(x－1)(y－9)=9（定值）.
又知x>1,y>9,所以当且仅当x－1=y－9=3,
即x=4,y=12时，(x＋y)min=16.
总结：
整体思维是一种很重要的解题思路，它能使问题得到很好的解决.另外，本题还可利用三角换元法、判别式法、数形结合法等求解，请读者自己去探索。
例2、设a、b、c∈R＋，求证：
.
分析：
本题看上去不能直接应用重要不等式，但当取等号时a=b=c
，于是可把原不等式转化为不等式
，然后就可以利用重要不等式进行证明.
证明：
原不等式即为
.
∵ 
∴ 原不等式成立.
总结：
从等号成立的条件出发探索拆项的合理性.一个看上去不能直接应用重要不等式证明的不等式，若能进行有效变形，就能快速得证.例如：若x>0,y>0,求证
这等价于1＋x2y＋xy2≥3xy.
由三元均值不等式知这是显然成立的.
例3、若a，b，c是不全相等的正数，求证：
分析：根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法又可用综合法．
证明：方法一：（分析法）
且以上三个不等式中等号不能同时成立．
所以
成立，从而原不等式成立．
方法二（综合法）：
∵ a，b，c∈R＋，
∴ 
，
且上述三个不等式中等号不能同时成立，
∴ 
，
∴ 
，
即 
总结：
分析法和综合法是对立统一的两个方面．分析法的证明过程恰好是综合法的分析、思考过程，综合法是分析、思考过程的逆推．
例4、已知a>0，b>0，c>0，且ab＋bc＋ca=1．
求证：(1)a＋b＋c≥
;
（2）
．
分析：本题可先采用分析法，再用综合法证之．
证明：
（1）要证明a＋b＋c≥
，由于a、b、c∈R＋，因此只需证（a＋b＋c）2≥3，
即证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3．
根据条件，只需证明a2＋b2＋c2≥1=ab＋bc＋ca．
而这里可由ab＋bc＋ca≤
= a2＋b2＋c2证得的．
∴原不等式成立．
（2）
在（1）式中已证得：a＋b＋c≥
．
∴原不等式成立只需证明：
也就是只需证明：
点评：
问题（2）还是联合运用了分析法与综合法，只是（2）的证明中用到了（1）的结果，也是常见的证题思路．
例5、解下列不等式.
（1）x4－4x3＋x2＋6x＜0.
（2）|x2－11x＋21|＞x.
（3）ax2－2(a＋1)x＋4＞0（a＞0）.
分析：（1）为一元四次不等式，可用根轴法求解；
（2）为绝对值不等式着眼如何脱掉绝对值符号．
（3）先将左边二次三项式因式分解找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。
解答：（1）原不等式可化为x(x－1)(x－3)(x－2)＜0，由根轴法，
易知不等式的解集为{x|－1＜x＜0或2＜x＜3}.
（2）不等式同解于x＜0或
解得x＜0或3＜x＜7或0≤x＜6－
或x＞6＋
.
故原不等式的解集为（－∞，6－
）∪（3，7）∪（6＋
，＋∞）.
（3）原不等式变形为(ax－2)(x－2)＞0.
对应一元二次方程的两根为
.
①a=1时，x1=x2=2，不等式的解集为{x|x≠2，x∈R}；
②0＜a＜1时，x1＞x2，不等式的解集为{x|x＞
或x＜2}；
③a＞1时，x1＜x2，不等式的解集为{x|x＞2或x＜
}.
点评：
1．用根轴法解一元高次不等式，分解因式是关键.
若出现重根的情形转化为不含重根的不等式组，譬如x(x＋1)(x－1)(x－2)2＜0.
应等价于
对于（2），由于|f(x)|＞a
f(x)＞a或f(x)＜－a的前提条件是a＞0，故应分类讨论.
2．解含参数的二次不等式时必须明确：（1）图象的开口方向；（2）判别式确定存在的范围；（3）两根的大小.
例6、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，宽度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）
分析：
题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y，由题意y与ab成反比，又设比例系数为k．则
，又由于箱体材料的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×(2b)＋2ab＋2a=60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b=30，a>0，b>0，求a，b为何值时，
最小.
解答：
解法一：
设流出的水中杂质的质量分数为y．由题意
，其中k为比例系数(k>0).
又据题意2×(2b)＋2ab＋2a=60（a>0，b>0），
∴ 
(由a>0，b>0可得a<30).
令t=a＋2，则a=t－2.
从而
，
当且仅当
∴a=6时取“=”号，由a=6可得b=3.
综上所述当a=6米，b=3米时沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.
解法二：
设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意
，其中k 为比例系数，k>0，要求y的最小值，必须求解ab的最大值.依题意，
4b＋2ab＋2a=60， 即 ab＋a＋2b=30(a>0，b>0)，
∵ a＋2b≥2
（当且仅当a=2b时取等号）
∴ ab＋2
≤30，可得0<ab≤18.
由a=2b及ab＋a＋2b=30，可得a=6，b=3.
即a=6，b=3时ab取最小值，从而y值最小.
点评：
本题的难度不在于建立数学模型，而在于建模后如何求函数的最值，这需要扎实的数学知识和灵活应用基本定理，公式的解题能力.
