一周强化

一、一周知识概述

　　本周主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．

二、重点知识讲解

1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有

（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；

（2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC

c＝acosB＋bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

　　在△ABC中，易证明再在上式各边同时除以在此方法推导过程中，要注意对面积公式的应用．

例1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角．

[解析]

例2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．

[解析]

例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．

[解析]

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．

例4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．

[解析]

6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．

例5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．

[解析]

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．

　　下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．

（1）当A为锐角时（如下图），

（2）当A为直角或钝角时（如下图），

也可利用正弦定理进行讨论．

如果sinB>1，则问题无解；

如果sinB＝1，则问题有一解；

　　如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．

2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解决的类型：

（1）已知两角和任一边解三角形；

（2）已知两边和一边的对角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解决的类型：

（1）已知三边解三角形；

（2）已知两边和夹角解三角形．

6、三角形面积公式：

例6、不解三角形，判断三角形的个数．

①a＝5，b＝4，A＝120°

②a＝30，b＝30，A＝50°

③a＝7，b＝14，A＝30°

④a＝9，b＝10，A＝60°

⑤a＝6，b＝9，A＝45°

⑥c＝50，b＝72，C＝135°

[解析]