4.5.2 用二分法求方程的近似解
(教师独具内容)
课程标准：探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，并知道用二分法求方程近似解具有一般性．
教学重点：理解二分法的原理及其适用条件，掌握用二分法求方程近似解的一般步骤．
教学难点：利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
【知识导学】
知识点
一 二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象01连续不断且02f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间03一分为二，使所得区间的两个端点逐步04逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
知识点二 用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证01f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的02中点C．
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则03c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈04(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
【新知拓展】
1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．
2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．
3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．
4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.
6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( )
(4)精确度ε就是近似值．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)下列函数的零点不能用二分法求解的是________．
①y＝x2－1；
②y＝－x2；
③y＝x－1，x>0；
④y＝ln x－2.
(2)用二分法求方程x3－3＝0的近似解时，若初始区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________.
(3)用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)<0，取区间[2,3]的中点x1＝2＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________．
答案 (1)②③ (2)1 (3)(2,2.5)
题型一 二分法的适用条件
例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
[解析] 按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A．
[答案] A
金版点睛
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断；
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
(1)下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是( )
(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③
C．①④ D．②
答案 (1)C (2)A
解析 (1)由于只有C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．
(2)由二分法的定义知①②正确.
题型二 用二分法求方程的近似解
例2 利用计算器，求方程2x＝6－3x的近似解．(精确度为0.1)
[解] 设f(x)＝2x＋3x－6，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，观察图象可以发现，它们的图象仅有一个交点，即方程2x＝6－3x有唯一解，设为x0.因为f(1)＝2＋3－6＝－1<0，f(2)＝4＋6－6＝4>0，所以f(1)·f(2)<0，即方程2x＝6－3x的解x0∈(1,2)．利用二分法，可以得到下表：
我们得到区间(1.1875,1.25)的长度为0.0625，它小于0.1，因此可选取这一区间的任意一个数作为方程的近似解，如可取x0＝1.2作为方程的一个近似解．
金版点睛
利用二分法求方程近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度为0.1)
解 ∵f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，
∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：
∵|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，
∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内，故函数零点的近似值可以为1.3125.
题型三 二分法的实际应用
例3 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
[解] 先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球分别放在天平左右两端，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
金版点睛
二分法在实际问题中的应用
(1)二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．
(2)本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的．
在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
答案 3
解析 从26枚金币中取18枚，将这18枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，(1)若天平不平衡，则假币一定在质量小的那9枚金币里面．从这9枚金币中拿出6枚，然后将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定在剩下的那3枚金币里；若不平衡，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从含有假币的3枚金币里取两枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．(2)若天平平衡，则假币在剩下的8枚金币里，从这8枚金币中取6枚，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，假币在剩下的两枚里，若天平不平衡，假币在质量小的3枚里．在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右，即可找到假币．综上可知，最多称3次就可以发现这枚假币．故填3.
1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
答案 C
解析 因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
答案 A
解析 ∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，故可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
3．对于用二分法求方程f(x)＝0在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a，b)的中点x1＝2＝3，计算得f(2)·f(3)<0，则此时方程的解x0∈________(填区间)．
答案 (2,3)
解析 由二分法原理可知x0∈(2,3)．
4．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
答案 0.6875
解析 ∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，∴方程的解在(0.6875,0.75)上，而|0.75－0.6875|<0.1，∴方程的一个近似解为0.6875.
5．求方程lg x＝2－x的近似解．(精确度为0.1)
解 在同一平面直角坐标系中，作出y＝lg x，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)＝lg x＋x－2，则f(x)的零点为x0.
用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)；
f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)；
f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75,2)，
f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)；
f(1.75)<0，f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125)．
∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，
∴方程的近似解可取为1.8125.