第2课时 补集
(教师独具内容)
课程标准：1.在具体情境中，了解全集的含义，理解补集的含义，能求给定(全集的)子集的补集.2.能用Venn图表达集合的补集．
教学重点：1.补集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的补集.3.能进行简单的“并”“交”“补”混合运算．
教学难点：1.求补集及补集思想的应用.2.“子”“并”“交”“补”的综合问题.
【知识导学】
知识点
一 全集
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U.
注意：可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行，这个范围以外的问题不在我们研究的范围以内，这时就有理由将所研究的这个范围视为全集．全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．
知识点二 补集
自然语言：对于一个集合A，由全集U中01不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作.
符号语言：∁UA＝02{x|x∈U，且x∉A}．
图形语言：
【新知拓展】
1．求补集是集合的一种运算，其运算结果是一个集合(补集的定义就是告诉我们这个集合中的元素是什么)，这种运算有两个前提，一是必须有全集，二是求补集的这个集合必须是全集的子集．
2．集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比
实数 | 集合 |
被减数a | 被减集合(全集)A |
减数b | 减集合B |
差a－b | 补集 |
很明显，同一个集合，由于全集的不同，其补集也不相同(就好像同一个数，由于被减数不同，差也不同一样)．
3．根据补集的定义，容易看出的性质
∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设全集是U，集合A⊆U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈A，二者必居其一且只具其一．( )
(2)全集没有补集．( )
(3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．( )
(4)负整数集的补集是自然数集．( )
(5)设全集为U，则对于任意集合A，只要A⊆U，则等式“A∪(A)＝U”都成立．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．做一做
(1)设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{2} B．{3}
C．{1,2,4} D．{1,4}
(2)已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝( )
A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}
C．{1,2} D．{1,2,3}
答案 (1)B (2)C
题型一 求给定集合的补集及集合的混合运算
例1 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝( )
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(A∪B)＝________，(A)∩B＝________.
[解析] (1)∵B＝{2,5,8}，
∴A∩(B)＝{2,5}，故选A.
(2)∵A∪B＝{x|2<x<10}，
∴(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵A＝{x|x<3或x≥7}，
∴(A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．
[答案] (1)A (2){x|x≤2或x≥10} {x|2<x<3或7≤x<10}
金版点睛
关于集合的运算要牢记法则，仔细分析各集合中的元素：
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．
(3)对于混合运算，要类比实数的加、减运算：谁在前头先算谁，有括号的先算括号．
(1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(B)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集A为( )
A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}
C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}
答案 (1)D (2)C
解析 (1)根据题意易得3∈A,9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈B，则(B)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．
(2)借助数轴，如图易得A＝{x∈R|0<x≤2}．
题型二 探究补集的一些运算律
例2 试探究(A∩B)与(A)∪(B)之间的关系．
[解] 先通过具体例子探究它们之间的关系．
不妨令U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,4,7}，B＝{1,3,7,8}．
易知A∩B＝{1,7}，(A∩B)＝{2,3,4,5,6,8}．
A＝{3,5,6,8}，B＝{2,4,5,6}，
(A)∪(B)＝{2,3,4,5,6,8}，
显然有(A∩B)＝(A)∪(B)．
下面给出证明：
先证(A∩B)⊆(A)∪(B)，
设x∈(A∩B)，则x∉(A∩B)．
分三种情况：①x∈A，且x∉B；②x∉A，且x∈B；③x∉A，且x∉B.
从而可以推出：①x∈B；②x∈A；③x∈A，且x∈B.
综上可知，x∈(A)∪(B)，
∴(A∩B)⊆(A)∪(B)．
再证(A)∪(B)⊆(A∩B)，
设x∈(A)∪(B)，则x∈A或x∈B，即x∉A或x∉B，
即x∉A∩B，于是x∈(A∩B)，
∴(A)∪(B)⊆(A∩B)．
根据集合相等的定义，从而有
(A∩B)＝(A)∪(B)．
金版点睛
对于一些探究性问题，可以先通过具体实例发现结论(或寻找探究方向)，然后给出证明，这是一种由特殊到一般的推理方法；本例用到证明集合相等的常用方法(即A⊆B，且B⊆A⇔A＝B).
试探究(A∪B)与(A)∩(B)之间的关系．
解 (A∪B)＝(A)∩(B)．
用Venn图表示(A∪B)＝(A)∩(B)有：
题型三 补集思想的应用
例3 已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x<0，x∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
[解] ∵A∩B≠∅，∴A≠∅.
设全集U＝{m|Δ＝(－4)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1}．
若A∩B＝∅，则方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，
则x1x2＝2m＋6≥0⇒－3≤m≤－1，
∵{m|－3≤m≤－1}关于U的补集为{m|m<－3}，
∴实数m的取值范围为m<－3.
金版点睛
对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时应从问题的反面入手探求已知和未知的关系，这样能化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接原则的体现.,这种“正难则反”策略运用的就是补集思想，而已知全集U，求子集A，若直接求A有困难，可先求∁UA，再由∁U (∁UA)＝A，求A即可.
已知集合A＝{x|x2＋2x＋3m－5＝0}，B＝{x|x>0)，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
解 设全集U＝{m|Δ＝4－4(3m－5)≥0}＝{m|m≤2}，若方程x2＋2x＋3m－5＝0的两根均为非正，则
x1x2＝3m－5≥0⇒3≤m≤2.
∵集合≤m≤2在U中的补集为3，
∴实数m的取值范围为3.
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则(A∩B)等于( )
A．{2,3} B．{1,4,5}
C．{4,5} D．{1,5}
答案 B
解析 集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5}，故选B.
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(B)＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}
答案 D
解析 由补集的概念和已知条件可得：∁RB＝{x|x≥1}，又根据交集的定义可知A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}，故选D.
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，A＝{3}，则实数a等于( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
答案 D
解析 根据题意，得a2－2a＋3＝3，且a＝2，解得a＝2，故选D.
4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(M)＝∅，则M∪N＝( )
A．M B．N
C．I D．∅
答案 A
解析 由N∩(M)＝∅，知N与M没有公共元素，依据题意画出Venn图，如图所示，可得N⊆M，所以M∪N＝M.
5．设A，B，U均为非空集合，且满足A⊆B⊆U，则下列各式中错误的是( )
A．(A)∪B＝U B．(A)∪(B)＝U
C．A∩(B)＝∅ D．(A)∩(B)＝B
答案 B
解析 解法一：令A＝{1}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3}，检验四个选项可知，B错误．故选B.
解法二：根据A⊆B⊆U画出Venn图，如图所示，易知A，C，D正确．
∵(A)∪(B)＝(A∩B)，而由A⊆B，知(A∩B)＝A≠U，故B错误．