5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

(教师独具内容)

课程标准：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．

教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性．

教学难点：周期函数、最小正周期的意义.

【知识导学】

知识点一　　　函数的周期性

(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个01(□)非零常数T，使得当x取定义域内的02(□)每一个值时，都有03(□)f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做04(□)周期函数，05(□)非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)06(□)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

(3)记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是07(□)周期函数，08(□)2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为09(□)2π.

知识点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性

正弦函数y＝sinx(x∈R)是01(□)奇函数，图象关于02(□)原点对称；

余弦函数y＝cosx(x∈R)是09(□)偶函数，图象关于04(□)y轴对称．

【新知拓展】

(1)周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．

(2)从等式“f(x＋T )＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝f2(T)＝f(2x)，则2(T)是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．

(3)如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．

(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．

(5)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为sin3(π)＝sin3(π)，所以3(π)是正弦函数y＝sinx的一个周期．(　　)

(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N^*也是函数f(x)的周期．(　　)

(3)函数y＝3sin2x是奇函数．(　　)

(4)函数y＝－cos3(π)x是偶函数．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．做一做

(1)函数f(x)＝2sin－x(π)是(　　)

A．T＝2π的奇函数   B．T＝2π的偶函数

C．T＝π的奇函数   D．T＝π的偶函数

(2)函数y＝3sin4(π)的最小正周期为________．

(3)若函数y＝sinx在[a，b]上是奇函数，则a＋b＝________.

答案　(1)B　(2)π　(3)0

题型一  正弦函数、余弦函数的周期性

例1　求下列函数的周期．

(1)y＝3sinx＋3(π)；

(2)y＝|cosx|；

(3)y＝3cos－3x(π)；

(4)y＝sin4(π).

[解]　(1)解法一：y＝3sinx＋3＋2π(π)

＝3sin()x＋4＋3(π)＝3sinx＋3(π)，

令y＝f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，

∴y＝3sinx＋3(π)的周期为4.

解法二：ω＝2(π)，∴T＝ω(2π)＝2(π)＝4.

(2)y＝|cosx|的图象如下图所示．

∴周期T＝π.

(3)解法一：y＝3cos－3x(π)＝3cos6(π).

∵3cos＋2π(π)＝3cos6(π)

＝3cos6(π)，

令y＝f(x)，则f3(2π)＝f(x)，

∴y＝3cos－3x(π)的周期为3(2π).

解法二：∵|ω|＝3，∴T＝|ω|(2π)＝3(2π).

(4)解法一：y＝sin4(π)

＝sin＋2π(π)

＝sin()4(π)，

令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)，

∴y＝sin4(π)的周期为π.

解法二：∵ω＝2，∴T＝ω(2π)＝2(2π)＝π.

金版点睛

求三角函数周期的方法

求三角函数的周期，通常有三种方法．

方法一：定义法，即利用周期函数的定义求解；

方法二：公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝|ω|(2π)；

方法三：观察法(图象法)．

注意：求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.

　求下列函数的最小正周期．

(1)y＝sin3(π)；(2)f(x)＝2sin6(π)；

(3)f(x)＝cos3(π)；(4)f(x)＝|sinx|.

解　(1)∵sin＋2π(π)＝sin3(π)，

∴sin()3(π)＝sin3(π)，

∴y＝sin3(π)的周期是π.

(2)解法一：∵2sin＋2π(π)

＝2sin()6(π)＝2sin6(π)，

∴f(x＋4π)＝f(x)，

∴f(x)＝2sin6(π)的周期是4π.

解法二：∵ω＝2(1)，∴T＝2(1)＝4π.

(3)f(x)＝cos3(π)＝cos3(π).

∵cos＋2π(π)＝cos()3(π)＝cos3(π)，∴f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.

(4)f(x)＝|sinx|的图象如图所示．

∴周期T＝π.

题型二   正弦函数、余弦函数的奇偶性

例2　判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin2x；

(2)f(x)＝sin2(3π)；

(3)f(x)＝sin|x|；

(4)f(x)＝＋.

[解]　(1)∀x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝sin2x是奇函数．

(2)∀x∈R，f(x)＝sin2(3π)＝－cos4(3x)，

所以f(－x)＝－cos4(3x)＝－cos4(3x)＝f(x)，

所以函数f(x)＝sin2(3π)是偶函数．

(3)∀x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，

所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．

(4)由cosx－1≥0，(1－cosx≥0，)得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，

此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．

[条件探究]　将本例(1)改为f(x)＝cos2x，

(2)改为f(x)＝cos2(3π)，再判断函数的奇偶性．

解　(1)∵∀x∈R，f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(2)∵∀x∈R，f(x)＝cos2(3π)＝sin4(3x)，

∴f(－x)＝sin4(3x)＝－sin4(3x)＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数．

金版点睛

判断函数奇偶性应把握好的两个关键点

关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；

关键点二：看f(x)与f(－x)的关系．

对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．

　(1)判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x³sinx的奇偶性；

(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，求φ的一个值．

解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，

又f(x)＝cosx－x³sinx，

∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)³sin(－x)

＝cosx－x³sinx＝f(x)，

∴函数f(x)为偶函数．

(2)解法一：根据y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数，

∴要使f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，只要φ的终边在y轴上即可．

把f(x)＝sin(2x＋φ)变为f(x)＝cos2x或f(x)＝－cos2x.

∴可取φ＝2(π)＋kπ(k∈Z)．∴当k＝－1时，φ＝－2(π).

解法二：∵f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，

∴该函数关于直线x＝0对称．

又∵f(x)的对称轴满足2x＋φ＝2(π)＋kπ(k∈Z)，

∴当x＝0时满足2x＋φ＝2(π)＋kπ(k∈Z)．

∴φ＝2(π)＋kπ(k∈Z)．

∴当k＝－1时，φ＝－2(π).

题型三  函数周期性与奇偶性的应用

例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈2(π)时，f(x)＝sinx，求f3(5π)的值．

[解]　∵f(x)的最小正周期是π，

∴f3(5π)＝f－2π(5π)＝f3(π).

∵f(x)是R上的偶函数，

∴f3(π)＝f3(π)＝sin3(π)＝2(3).∴f3(5π)＝2(3).

[条件探究]　若本例条件改为：函数f(x)为偶函数且f2(π)＝－f(x)，f3(π)＝1，求f3(5π)的值．

解　因为f(x)满足f2(π)＝－f(x)，

所以f(x＋π)＝－f2(π)＝f(x)．

故函数f(x)的周期为π.

由函数f(x)是偶函数以及f3(π)＝1，

可得f3(5π)＝f3(π)＝f3(π)＝1.

金版点睛

化归思想在周期函数中的应用

(1)利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．

(2)如果一个函数是周期函数，先研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．

(3)周期性实质上是由终边相同的角所具有的周期性所决定的．

　若函数f(x)是以2(π)为周期的偶函数，且f3(π)＝1，求f6(17π)的值．

解　∵函数f(x)是偶函数，∴f6(17π)＝f6(17π).

又函数f(x)的周期是2(π)，

∴f6(17π)＝f3(π)＝f3(π)＝1.

即f6(17π)＝1.

1．函数y＝sinx－φ(1)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　)

A．0  B.4(π)  C.2(π)  D．π

答案　C

解析　由题意，得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝2(π).故选C.

2．函数y＝sin2x是(　　)

A．周期为π的奇函数

B．周期为π的偶函数

C．周期为2(π)的偶函数

D．周期为2(π)的奇函数

答案　A

解析　显然函数y＝sin2x是奇函数，其最小正周期为T＝2(2π)＝π，故选A.

3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

答案　B

解析　∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除A，C.

又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，故选B.

4．若函数y＝sin4(π)的最小正周期是3(2π)，则ω＝________.

答案　±3

解析　|ω|(2π)＝3(2π)，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.

5．函数f(x)＝1＋sinx(1＋sinx－cos2x)的奇偶性为________．

答案　非奇非偶函数

解析　由题意，知f(x)的定义域为x≠2(3π)＋2kπ，k∈Z}，不关于原点对称．∴f(x)为非奇非偶函数．