第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值

(教师独具内容)

课程标准：1.掌握正弦函数、余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．

教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性和最值．

教学难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值.

【知识导学】

知识点　正弦函数、余弦函数的性质

【新知拓展】

(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．

(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．

(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　)

(2)存在x∈R满足sinx＝.(　　)

(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅当x＝0时取得最大值1.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)在下列区间中，函数y＝sinx单调递增的是(　　)

A．[0，π]   B.2(3π)

C.2(π)   D．[π，2π]

(2)函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为(　　)

A．y_max＝3，x＝2(π)

B.y_max＝1，x＝2(π)＋2kπ(k∈Z)

C．y_max＝3，x＝－2(π)＋2kπ(k∈Z)

D．y_max＝3，x＝2(π)＋2kπ(k∈Z)

(3)函数y＝3(1)sin－x(π)(x∈[0，π])的单调递增区间为________．

答案　(1)C　(2)C　(3)，π(2π)

题型一  正弦函数、余弦函数的单调区间

例1　求下列函数的单调递增区间：

(1)y＝1－sin2(x)；(2)y＝sin3(π)；

(3)y＝log2(1)sin4(π)；(4)y＝cos2x.

[解]　(1)由题意可知函数y＝sin2(x)的单调递减区间即为y＝1－sin2(x)的单调递增区间，

由2kπ＋2(π)≤2(x)≤2kπ＋2(3π)(k∈Z)，得

4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)，

所以函数y＝1－sin2(x)的单调递增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．

(2)y＝sin3(π)＝－sin3(π).

由2(π)＋2kπ≤2x－3(π)≤2(3π)＋2kπ(k∈Z)，

解得12(5π)＋kπ≤x≤12(11π)＋kπ(k∈Z)，

故函数y＝sin3(π)的单调递增区间为

＋kπ(11π)(k∈Z)．

(3)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，

可知()k∈Z，(3π)

解得2kπ＋2(π)≤2x＋4(π)<2kπ＋π(k∈Z)，

即kπ＋8(π)≤x<kπ＋8(3π)(k∈Z)，

故所求单调递增区间为8(3π)(k∈Z)．

(4)函数y＝cos2x的单调递增区间由下面的不等式确定：

2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，∴kπ－2(π)≤x≤kπ，k∈Z，

∴函数y＝cos2x的单调递增区间为，kπ(π)，k∈Z.

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求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧

求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．

当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调减区间内，可求得函数的单调减区间．

当A<0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．

最后，需将最终结果写成区间形式．

　求下列函数的单调区间：

(1)y＝cos3(π)；(2)y＝3sin－2x(π).

解　(1)当2kπ－π≤2(x)＋3(π)≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是3(2π)，k∈Z.

当2kπ≤2(x)＋3(π)≤2kπ＋π，k∈Z时，

函数单调递减，故函数的单调递减区间是3(4π)，k∈Z.

(2)y＝3sin－2x(π)＝－3sin4(π)，

令z＝2x－4(π)，则y＝－3sinz.

要取y＝－3sinz的增区间即取y＝sinz的减区间，

即2kπ＋2(π)≤2x－4(π)≤2kπ＋2(3π)(k∈Z)，

∴kπ＋8(3π)≤x≤kπ＋8(7π)(k∈Z)，

∴函数y＝3sin－2x(π)的单调递增区间为8(7π)(k∈Z)．

要取y＝－3sinz的减区间即取y＝sinz的增区间，

即2kπ－2(π)≤2x－4(π)≤2kπ＋2(π)(k∈Z)，

∴kπ－8(π)≤x≤kπ＋8(3π)(k∈Z)．

∴函数y＝3sin－2x(π)的单调递减区间为8(3π)(k∈Z)．

题型二  比较三角函数值的大小

例2　比较下列各组数的大小：

(1)cos5(23π)与cos4(17π)；(2)sin194°与cos160°；

(3)sin1，sin2，sin3.

[解]　(1)cos5(23π)＝cos5(7π)＝cos5(7π)，

cos4(17π)＝cos4(7π)＝cos4(7π)，

∵π<5(7π)<4(7π)<2π，∴cos5(7π)<cos4(7π)，

即cos5(23π)<cos4(17π).

(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，

cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.

∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.

从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.

(3)∵1<2(π)<2<3<π，

又sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.

0<π－3<1<π－2<2(π)，

而y＝sinx在2(π)上单调递增，

∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.

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比较三角函数值大小的方法

(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．

(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．

　(1)两个数cos8(7π)和cos6(7π)的大小关系是________；

(2)按由小到大的顺序排列下列数：cos2(3)，sin10(1)，－cos4(7).写在横线上为________________．

答案　(1)cos8(7π)<cos6(7π)

(2)cos2(3)<sin10(1)<－cos4(7)

解析　(1)cos8(7π)＝cos8(7π)＝cos8(π)＝－cos8(π)，

而cos6(7π)＝－cos6(π)，

∵0<8(π)<6(π)<2(π)，∴cos8(π)>cos6(π)，

∴－cos8(π)<－cos6(π)，∴cos8(7π)<cos6(7π).

(2)sin10(1)＝cos10(1)≈cos1.47，

－cos4(7)＝cos4(7)≈cos1.39，

而y＝cosx在[0，π]上单调递减，

∴cos1.5<cos10(1)<cos4(7)，

即cos2(3)<sin10(1)<－cos4(7).

题型三  正弦函数、余弦函数的最值问题

例3　求下列函数的值域：

(1)y＝cos6(π)，x∈2(π)；

(2)y＝cos²x－4cosx＋5.

[解]　(1)由y＝cos6(π)，x∈2(π)，

可得x＋6(π)∈3(2π)，

函数y＝cosx在区间3(2π)上单调递减，所以函数的值域为3().

(2)令t＝cosx，则－1≤t≤1.

∴y＝t²－4t＋5＝(t－2)²＋1，

∴当t＝－1时，y取得最大值10，

当t＝1时，y取得最小值2.

所以y＝cos²x－4cosx＋5的值域为[2,10]．

[条件探究]　(1)将本例(1)改为y＝cos6(π)，x∈2(π)，再求值域；

(2)若将本例(1)改为y＝sin6(π)，x∈2(π)，值域又如何？

解　(1)y＝cos6(π)，

∵x∈2(π)，∴x－6(π)∈3(π)，

由余弦函数的图象及其单调性可知

cos6(π)∈，1(1).

∴所求函数的值域为，1(1).

(2)y＝sin6(π)，∵x∈2(π)，

∴x＋6(π)∈3(2π)，

由正弦函数的图象及其单调性可知sin6(π)∈，1(1)，

∴所求函数的值域为，1(1).

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三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法

(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．

(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．

(3)形如y＝asin²x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at²＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．

附：形如y＝Csinx＋D(Asinx＋B)或y＝Ccosx＋D(Acosx＋B)(A²＋C²≠0)的最大值最小值可解出sinx或cosx后利用其有界性来求．

　(1)已知函数f(x)＝2asinx＋b的定义域为3(2π)，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值；

(2)求函数y＝cos²x－sinx在x∈4(π)上的最大值和最小值．

解　(1)因为x∈3(2π)，

所以sinx∈，1(3).

2a＋b＝1(＋b＝－5，)或3()

解得3(3，)或.(3，)

(2)y＝cos²x－sinx＝1－sin²x－sinx＝－2(1)²＋4(5).因为－4(π)≤x≤4(π)，－2(2)≤sinx≤2(2)，

所以当x＝－6(π)，即sinx＝－2(1)时，函数取得最大值，y_max＝4(5)；

当x＝4(π)，即sinx＝2(2)时，函数取得最小值，y_min＝2(1)－2(2).

1．函数y＝sin²x＋sinx－1的值域为(　　)

A．[－1,1]   B.，－1(5)

C.，1(5)   D.4(5)

答案　C

解析　y＝sin²x＋sinx－1＝2(1)²－4(5)，当sinx＝－2(1)时，y_min＝－4(5)；当sinx＝1时，y_max＝1，故选C.

2．下列关系式中正确的是(　　)

A．sin11°<cos10°<sin168°   B．sin168°<sin11°<cos10°

C．sin11°<sin168°<cos10°   D．sin168°<cos10°<sin11°

答案　C

解析　∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.

3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是(　　)

A.4(π)  B.4(3π)

C.2(3π)   D.，2π(3π)

答案　C

解析　由y＝|sinx|的图象，易得函数y＝|sinx|的单调递增区间为2(π)，k∈Z.当k＝1时，得2(3π)为函数y＝|sinx|的一个单调递增区间．

4．函数y＝2sin3(π)6(π)的值域是________．

答案　[0,2]

解析　∵－6(π)≤x≤6(π)，∴0≤2x＋3(π)≤3(2π)，

∴0≤sin3(π)≤1，∴y∈[0,2]．

5．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间3(π)上的最大值为，求ω的值．

解　由题意可知f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间3(π)上单调递增且2sin3(π)ω＝，即sin3(π)ω＝2(2)，

所以有3(π)ω＝2kπ＋4(π)(k∈Z)，即ω＝6k＋4(3)(k∈Z)，

因为0<ω<1，所以ω＝4(3).