第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(教师独具内容)

课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用以及变形应用.3.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算．

教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程及运用．

教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的变形应用.

【知识导学】

知识点一　　　两角和与差的余弦公式

知识点二　　　两角和与差的正弦公式

知识点三　　　两角和与差的正切公式

【新知拓展】

1．两角和与差的余弦公式的灵活运用

要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)公式．

(1)顺用公式，如：

cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]

＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)；

cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；

cosα＝cos[(α＋β)－β]

＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.

(2)逆用公式，如：

cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)

＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α.

(3)变用公式，如：

cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ；

cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.

2．两角和与差的正切公式的灵活运用

(1)正切公式的逆用

()()1＋tanα＋βtanα(tanα＋β－tanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；

1－tanα(1＋tanα)＝tanα(π)＝tan＋α(π).

(2)正切公式的变形应用

tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；

tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；

1－tanαtanβ＝()tanα＋β(tanα＋tanβ)；

1＋tanαtanβ＝()tanα－β(tanα－tanβ).

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)

(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．(　　)

(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．(　　)

(4)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝1－tanαtanβ(tanα＋tanβ)都成立．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．做一做

(1)cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于(　　)

A.2(1)  B．－2(1)  C．0  D．1

(2)化简sin21°cos81°－cos21°sin81°等于(　　)

A.2(1)  B．－2(1)  C.2(3)  D．－2(3)

(3)1－tan17°tan43°(tan17°＋tan43°)＝________.

答案　(1)C　(2)D　(3)

题型一  余弦公式的正用、逆用、变形应用

例1　化简求值：

(1)cos20°cos25°－sin20°sin25°；

(2)cos＋φ(π)－cos－φ(π)；

(3)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.

[解]　(1)原式＝cos(20°＋25°)＝cos45°＝2(2).

(2)原式＝sinφ(π)－cosφ＋(π)sinφ(π)＝－2sin4(π)sinφ＝

－2×2(2)sinφ＝－sinφ.

(3)原式＝cos(α＋β－β)＝cosα.

[条件探究]　若将本例(2)改为cos＋φ(π)＋cos－φ(π)，如何化简？

解　cos＋φ(π)＋cos－φ(π)

＝cos4(π)cosφ－sin4(π)sinφ＋cos4(π)cosφ＋sin4(π)sinφ

＝2cos4(π)cosφ＝2×2(2)cosφ＝cosφ.

金版点睛

解决化简求值问题的策略

(1)注意分析式子的结构特点，合理选择余弦的和差公式．

(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．

(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及特殊值与特殊角的转化．

　设角α为锐角，求证：

(1)2(3)cosα＋2(1)sinα＝cos－α(π)；

(2)cosα－sinα＝cos＋α(π).

证明　(1)证法一：右边＝cos6(π)cosα＋sin6(π)sinα＝2(3)cosα＋2(1)sinα＝左边，等式成立．

证法二：联系等式左右两边可知是两角差的余弦公式，由于cos6(π)＝2(3)，sin6(π)＝2(1)，因此等式左边＝cos6(π)cosα＋sin6(π)sinα＝cos－α(π)＝右边，等式成立．

(2)证法一：右边＝sinα(π)

＝2()＝cosα－sinα＝左边，等式成立．

证法二：联系等式左右两边可知是两角和的余弦公式，由于cos4(π)＝2(2)，sin4(π)＝2(2)，

因此等式左边＝2()

＝sinα(π)＝cos＋α(π)＝右边，等式成立.

题型二  正弦公式的正用、逆用、变形应用

例2　化简求值：

(1)sin(－15°)；

(2)sin13°cos17°＋sin77°cos73°；

(3)sin12(π)－cos12(π).

[解]　(1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)＝sin30°cos45°－cos30°sin45°＝2(1)×2(2)－2(3)×2(2)＝4(6).

(2)原式＝sin13°cos17°＋sin(90°－13°)cos(90°－17°)

＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin(13°＋17°)＝sin30°

＝2(1).

(3)原式＝212(π)

＝23(π)

＝2sin3(π)＝－2sin4(π)＝－.

金版点睛

运用公式进行化简、求值的注意点

运用两角和与差的正弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式特征的结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．

　化简求值：

(1)sin15°＋cos15°；

(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°；

(3)cos17°(sin47°－sin17°cos30°).

解　(1)解法一：sin15°＋cos15°

＝2()

＝sin(15°＋45°)＝sin60°＝2(6).

解法二：sin15°＋cos15°＝2()

＝(cos45°cos15°＋sin45°sin15°)

＝cos(45°－15°)＝cos30°＝2(6).

(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin29°＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29°

＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)

＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－2(1).

(3)cos17°(sin47°－sin17°cos30°)＝()cos17°(sin17°＋30°－sin17°cos30°)

＝cos17°(sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°)

＝cos17°(cos17°sin30°)＝sin30°＝2(1).

题型三  正切公式的正用、逆用、变形应用

例3　求值：

(1)1＋tan15°(1－tan15°)；

(2)tan72°－tan42°－3(3)tan72°tan42°.

[解]　(1)原式＝1＋tan45°tan15°(tan45°－tan15°)＝tan(45°－15°)＝tan30°＝3(3).

(2)∵tan30°＝tan(72°－42°)＝1＋tan72°tan42°(tan72°－tan42°)，

∴tan72°－tan42°＝tan30°(1＋tan72°tan42°)．

∴原式＝tan30°(1＋tan72°tan42°)－3(3)tan72°tan42°＝3(3).

金版点睛

正切公式中的常用规律

(1)需牢记公式T_(α±β)的符号规律为“分子同，分母反”．

(2)注意“1＝tan45°”和“＝tan3(π)”的代换．

(3)由正切公式可知，tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一．注意公式的正用、逆用、变形使用．

　求值：

(1)tan15°(3－tan15°)；

(2)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°.

解　(1)tan15°(3－tan15°)＝1＋tan60°tan15°(tan60°－tan15°)＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.

(2)原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)

＝tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)

＝tan10°tan20°＋tan30°(1－tan10°tan20°)＝1.

题型四  三角函数求值

例4　已知cosα＝5(5)，sin(α－β)＝10(10)，且α，β∈2(π).求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．

[解]　(1)因为α，β∈2(π)，

所以α－β∈2(π)，又sin(α－β)＝10(10)>0，

所以0<α－β<2(π).

所以sinα＝＝5(5)，

cos(α－β)＝()＝10(10)，

cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]

＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)

＝5(5)×10(10)－5(5)×10(10)＝10(2).

(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝5(5)×10(10)＋5(5)×10(10)＝2(2).

又因为β∈2(π)，所以β＝4(π).

金版点睛

合理拆分角、凑角等对式子化简求值

解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；

(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．

　(1)已知cosα＝5(4)，α∈(0，π)，tan(α－β)＝2(1)，求tanβ及tan(2α－β)；

(2)已知sin(α＋β)＝2(1)，sin(α－β)＝3(1)，求tanβ(tanα)的值．

解　(1)∵cosα＝5(4)＞0，α∈(0，π)，

∴α∈2(π)，sinα＞0.

∴sinα＝＝2(4)＝5(3)，

∴tanα＝cosα(sinα)＝5(4)＝4(3).

∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝()()1＋tanαtanα－β(tanα－tanα－β)＝2(1)＝11(2)，

tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝()()1－tanαtanα－β(tanα＋tanα－β)＝2(1)＝2.

(2)∵sin(α＋β)＝2(1)，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝2(1).①

∵sin(α－β)＝3(1)，sinαcosβ－cosαsinβ＝3(1).②

由①②解得sinαcosβ＝12(5)，cosαsinβ＝12(1)，

∴tanβ(tanα)＝cosαsinβ(sinαcosβ)＝12(1)＝5. 

1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°的值是(　　)

A.2(3)  B.2(1)  C．－2(3)  D．－2(1)

答案　B

解析　sin14°cos16°＋sin76°cos74°

＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°

＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝2(1).

2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于(　　)

A．2  B．1  C.2(1)  D．4

答案　C

解析　因为tan(α＋β)＝1－tanαtanβ(tanα＋tanβ)＝1－tanαtanβ(2)＝4，所以tanαtanβ＝2(1).

3．sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)＝________.

答案　2(2)

解析　原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos[90°－(63°－x)]sin(18°－x)

＝sin(27°＋x)cos(18°－x)＋cos(27°＋x)sin(18°－x)

＝sin(27°＋x＋18°－x)＝sin45°＝2(2).

4．已知cosθ＝3(1)2(π)，则sin4(π)的值为________；sin6(π)的值为________．

答案　6(2)　6(6－1)

解析　因为cosθ＝3(1)2(π)，所以sinθ＝＝3(2)，所以sin4(π)＝sinθcos4(π)＋cosθsin4(π)＝2(2)×3(1)＝6(2)；

sin6(π)＝sinθcos6(π)－cosθsin6(π)＝3(2)×2(3)－3(1)×2(1)＝6(6－1).

5．已知△ABC，若sin(A＋B)＝3(2)，cosB＝－4(3)，求cosA的值．

解　∵cosB＝－4(3)，∴2(π)<B<π，2(π)<A＋B<π，∴sinB＝＝4(7)，cos(A＋B)＝－()＝－3(5)，∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝3(5)×4(3)＋3(2)×4(7)＝12(7).