5.6.1　匀速圆周运动的数学模型

5.6.2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

(教师独具内容)

课程标准：1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.3.能借助图象理解参数φ，ω，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.4.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．

教学重点：正确理解φ，ω，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，通过图象变换由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．

教学难点：对图象变换与函数解析式变换的内在联系的理解.

【知识导学】

知识点一　　　参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

知识点二　由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途

径

由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“01(□)先平移后伸缩”与“02(□)先伸缩后平移”．

(1)先平移后伸缩

 (2)先伸缩后平移

知识点三　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

注意隐含条件：

(1)两条相邻对称轴之间间隔为2(1)个周期；

(2)函数在对称轴处取得最大值或最小值．

【新知拓展】

对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：

(1)A越大，函数的最大值越大，最大值与A是正比例关系．

(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．

(3)φ大于0时，函数y＝Asinωx的图象向左平移ω(φ)个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，φ小于0时，函数y＝Asinωx的图象向右平移ω(φ)个单位长度得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，即“加左减右”．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)把y＝sin2x的图象向左平移6(π)个单位长度，得到

y＝sin6(π).(　　)

(2)函数y＝2sin4(π)，x∈R的最大值为2.(　　)

(3)函数y＝2sin4(π)，x∈R的图象的一个对称中心为，0(π).(　　)

(4)五点法作函数y＝2sin3(π)在一个周期上的简图时，第一个点为，0(π).(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．做一做

(1)将函数y＝sinx的图象向左平移3(π)个单位长度后所得图象的解析式为(　　)

A．y＝sinx－3(π)   B．y＝sinx＋3(π)

C．y＝sin3(π)   D．y＝sin3(π)

(2)要得到函数y＝sin3(π)的图象，只要将函数y＝sin2x的图象(　　)

A．向左平移3(π)个单位长度

B．向右平移3(π)个单位长度

C．向左平移6(π)个单位长度

D．向右平移6(π)个单位长度

(3)将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的4(1)倍(纵坐标不变)得到________的图象．

答案　(1)D　(2)C　(3)y＝sin4x

题型一   作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

例1　已知函数y＝2sin3(π)，用“五点法”画出其简图．

[解]　列表：

描点，连线得函数y＝2sin3(π)在一个周期内的图象．

再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z)个单位长度，就可得函数y＝2sin3(π)(x∈R)的图象．

金版点睛

用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表．

第二步：在同一坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．

　作出函数y＝2(1)cos3(π)在一个周期内的图象．

解　列表：

描点，连线得函数

y＝2(1)cos3(π)在一个周期内的图象，如图.

题型二  函数的图象变换

例2　说明y＝－2sin6(π)＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样变换得到的．

[解]　解法一(先伸缩后平移)：

[条件探究]　将本例改为：y＝2sin6(π)＋1的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？

金版点睛

三角函数图象变换的两种方法及两个注意

(1)两种方法：方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移．

(2)两个注意：

①两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和ω(φ)，但平移方向是一致的．

②虽然两种平移的单位长度不同，但因平移时平移的对象已有变化，所以得到的结果是一致的．

　函数y＝sin2(π)的图象向右平移4(π)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2(1)，所得图象的函数解析式为________．

答案　y＝sin4(7π)

解析　将原函数的图象向右平移4(π)个单位长度，得到y＝sin2(π)＝sin4(7π)的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2(1)，纵坐标不变，得到函数y＝sin4(7π)的图象.

题型三  求三角函数的解析式

例3　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)2(π)的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解]　解法一(逐一定参法)：

由图象知A＝3，

T＝6(5π)－6(π)＝π，

∴ω＝T(2π)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．

∵点，0(π)在函数图象上，

∴0＝3sin×2＋φ(π)，

∴－6(π)×2＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝3(π)＋kπ(k∈Z)．

∵|φ|＜2(π)，∴φ＝3(π)，∴y＝3sin3(π).

解法二(待定系数法)：

由图象知A＝3.

由图象过点，0(π)和，0(5π)，且在，0(π)处下降，在，0(5π)处上升，

可令＋φ＝2π，(5πω)解得.(π)

∴y＝3sin3(π).

解法三(图象变换法)：

由A＝3，T＝π，点，0(π)在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移6(π)个单位长度而得，

所以y＝3sin6(π)，即y＝3sin3(π).

金版点睛

求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法

若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.

(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.

(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝|ω|(2π)，确定ω.

(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的两种方法：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知，最好是代入图象与x轴的交点)求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点，0(φ)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝2(π)；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；

“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝2(3π)；

“第五点”为ωx＋φ＝2π.

　下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)

A．f(x)＝3sin3(π)

B．f(x)＝3sin3(π)

C．f(x)＝3sin6(π)

D．f(x)＝3sin6(π)

答案　C

解析　解法一(代值验证法)：

把，0(π)代入选项，可排除B，D；再将，3(2π)代入，可排除A.故C正确．

解法二(逐一定参法)：

设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．

由图知，A＝3，又T＝43(π)＝4π，

∴ω＝T(2π)＝2(1).

由点，0(π)，令－3(π)×2(1)＋φ＝0，得φ＝6(π).

∴f(x)＝3sin6(π)，选C.

解法三(待定系数法)：

设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，由图知，A＝3.

又图象过，0(π)，，3(2π)，根据五点法原理(这两点可理解为“五点法”中的第一点和第二点)，有：

，(π)解得ω＝2(1)，φ＝6(π).故选C.

题型四  函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用

例4　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M，0(3π)对称，且在区间2(π)上是单调函数，求φ和ω的值．

[解]　∵f(x)在R上是偶函数，

∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，

即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋2(π)，k∈Z.

又0≤φ≤π，∴φ＝2(π).

由f(x)的图象关于点M，0(3π)对称，可知

sin2(π)＝0，解得ω＝3(4)k－3(2)，k∈Z.

又f(x)在2(π)上是单调函数，

∴T≥π，即ω(2π)≥π，∴0＜ω≤2，

∴当k＝1时，ω＝3(2)；当k＝2时，ω＝2.

综上，φ＝2(π)，ω＝3(2)或2.

金版点睛

函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合运用

与正弦函数y＝sinx比较可知，当ωx＋φ＝2kπ±2(π)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值(或最小值)，因此函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋2(π)(k∈Z)解出，其对称中心横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即对称中心为，0(φ)(k∈Z)．同理y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋2(π)(k∈Z)解出．

　已知函数f(x)＝2sin6(π)＋1(0<φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为2(π).

(1)求f8(π)的值；

(2)将函数f(x)的图象向右平移6(π)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．

解　(1)因为f(x)为偶函数，

所以φ－6(π)＝kπ＋2(π)(k∈Z)，

所以φ＝kπ＋3(2π)(k∈Z)．

又0＜φ＜π，所以φ＝3(2π)，

所以f(x)＝2sin2(π)＋1＝2cosωx＋1.

又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为2(π)，

所以T＝ω(2π)＝2×2(π)，

所以ω＝2，所以f(x)＝2cos2x＋1，

所以f8(π)＝2cos8(π)＋1＝＋1.

(2)将f(x)的图象向右平移6(π)个单位长度后，得到函数f6(π)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f6(π)的图象，

所以g(x)＝f6(π)＝2cos6(π)＋1

＝2cos3(π)＋1.

当2kπ≤2(x)－3(π)≤2kπ＋π(k∈Z)，

即4kπ＋3(2π)≤x≤4kπ＋3(8π)(k∈Z)时，g(x)单调递减．

所以函数g(x)的单调递减区间是3(8π)(k∈Z)．

题型五  函数y＝Asin(ωx＋φ)在实际生活中的应用

例5　某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：

(1)当此人第四次距离地面2(69)米时用了多少分钟？

(2)当此人距离地面不低于2(3)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈过程中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？

[解]　(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则α＝18(2π)t＝9(π)t.

由y＝108－2(98)－2(98)cos9(π)t＝－49cos9(π)t＋59(t≥0)．

令－49cos9(π)t＋59＝2(69)，得cos9(π)t＝2(1)，

∴9(π)t＝2kπ±3(π)，

故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3,15,21,33.

故当此人第四次距离地面2(69)米时用了33分钟．

(2)由题意，得－49cos9(π)t＋59≥59＋2(3)，

即cos9(π)t≤－2(3).

不妨在第一个周期内求即可，

所以6(5π)≤9(π)t≤6(7π)，

解得2(15)≤t≤2(21)，

故2(21)－2(15)＝3.

因此摩天轮旋转一圈过程中有3分钟可以看到游乐园的全貌．

金版点睛

　如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；

(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.

解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为30(2π)t＝15(π)t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin15(π)t＋12(t≥0)．

(2)由10sin15(π)t＋12≥17，得

sin15(π)t≥2(1)，则2(5)≤t≤2(25).

故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.

1．将函数y＝sin2x的图象向左平移4(π)个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)

A．y＝cos2x   B．y＝1＋cos2x

C．y＝1＋sin4(π)   D．y＝cos2x－1

答案　B

解析　将函数y＝sin2x的图象向左平移4(π)个单位长度，得到函数y＝sin4(π)的图象，即y＝sin2(π)＝cos2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y＝1＋cos2x.

2．已知函数f(x)＝sin4(π)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)

A．关于直线x＝8(π)对称   B．关于点，0(π)对称

C．关于直线x＝4(π)对称   D．关于点，0(π)对称

答案　A

解析　∵ω＞0，T＝ω(2π)＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin4(π).∴其对称中心为，0(π)，k∈Z，

故B，D不符合；其对称轴方程由2x＋4(π)＝2(π)＋kπ，k∈Z得x＝2(kπ)＋8(π)，k∈Z.当k＝0时，x＝8(π)就是它的一条对称轴．故选A.

3．为了得到y＝cos4(x)的图象，只需把y＝cosx的图象上的所有点(　　)

A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的4(1)，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的4(1)，横坐标不变

答案　A

解析　由图象的周期变换可知，A正确．

4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝2sin4(3π)

解析　由题意，知A＝2，T＝22(π)＝4π，

所以ω＝T(2π)＝4π(2π)＝2(1).

因为图象过点，0(π)，

所以f2(π)＝2sin＋φ(π)＝0.

因为－π＜φ＜π，所以φ＝4(3π)或φ＝－4(π).

又因为f2(3π)＝－2，

所以φ＝4(3π)，

所以f(x)＝2sin4(3π).

5．求函数f(x)＝3sin3(π)，x∈R的周期、对称中心、对称轴及单调区间．

解　T＝ω(2π)＝2(2π)＝π，所以周期为π.

令2x＋3(π)＝kπ，k∈Z，得x＝2(kπ)－6(π)，k∈Z，

所以对称中心为，0(π)，k∈Z.

令2x＋3(π)＝kπ＋2(π)，k∈Z，得x＝2(kπ)＋12(π)，k∈Z，

所以对称轴为x＝2(kπ)＋12(π)，k∈Z.

令－2(π)＋2kπ≤2x＋3(π)≤2(π)＋2kπ，k∈Z，得

－12(5π)＋kπ≤x≤12(π)＋kπ，k∈Z，

所以它的单调递增区间为＋kπ(π)，k∈Z；

令2(π)＋2kπ≤2x＋3(π)≤2(3π)＋2kπ，k∈Z，得

12(π)＋kπ≤x≤12(7π)＋kπ，k∈Z，

所以它的单调递减区间为＋kπ(7π)，k∈Z.