1.5.1 全称量词与存在量词
(教师独具内容)
课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，并会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假．
教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题的构成以及全称量词命题和存在量词命题真假的判定．
教学难点：对全称量词命题与存在量词命题真假的判定．
【知识导学】
知识点
一 全称量词和全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做01全称量词(universal quantifier)，并用符号“02∀”表示．含有全称量词的命题，叫做03全称量词命题(universal proposition)．
(2)常见的全称量词还有“04一切”“05每一个”“06任给”等．
知识点二 存在量词和存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做01存在量词(existential quantifier)，并用符号“02∃”表示．含有存在量词的命题，叫做03存在量词命题(existential proposition)．
(2)常见的存在量词还有“04有些”“05有一个”“06对某些”“07有的”等．
【新知拓展】
1．对全称量词和全称量词命题的理解
(1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．
(2)有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．
2．对存在量词和存在量词命题的理解
存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个全称量词命题可以包含多个变量．( )
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )
(3)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．( )
(4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )
(5)四边形的内角和是360°是全称量词命题．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)．
(2)“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)．
(3)若命题“∀x∈{x|x>3}，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．
答案 (1)有些 存在 (2)全称量词 (3)a≤3
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)存在实数x，满足x2≥2；
(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
[解] (1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.
(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.
(3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直．
(4)是存在量词命题，∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
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判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形都是正方形；
(3)有些素数的和仍是素数；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
解 (1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改写为：所有的矩形都是正方形，故为全称量词命题．
(3)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有x1<x2；
(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
[解] (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．
(3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题．
(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．
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全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题．
判断下列命题的真假．
(1)对每一个无理数x，x2也是无理数；
(2)末位是零的整数，可以被5整除；
(3)有些整数只有两个正因数；
(4)某些平行四边形是菱形．
解 (1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．
(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．
(4)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．
题型三 含有量词的命题的应用
例3 ∃a∈Z，使关于x的分式方程x－1＋1－x＝4的解为正数，且∀y＜－2，关于y的不等式组()2y－a≤0成立．求符合条件的a的值．
[解] 分式方程x－1＋1－x＝4的解为x＝4且a≠2，∵关于x的分式方程x－1＋1－x＝4的解为正数，∴4＞0且a≠2，∴a＜6且a≠2.
()2y－a≤0， ②
解不等式①，得y＜－2；解不等式②，得y≤a.
∵关于y的不等式组()2y－a≤0的解集为y＜－2，∴a≥－2.∴－2≤a＜6且a≠2.
∵a为整数，∴a＝－2，－1,0,1,3,4,5.
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应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型
(1)全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
已知∃a∈Z，使关于x的不等式组5x－2≥x＋a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y－1＋1－y＝2的解为非负数，求符合条件的a的值．
解 根据题意，解不等式组得，∵不等式组有且只有四个整数解，∴0＜4≤1，解得－2＜a≤2；解分式方程，得y＝2－a，∴2－a≥0，解得a≤2，∴a＝－1或0或1或2，但当a＝1时，分式方程的解y＝1是增根，∴a＝－1,0和2.
1．下列命题中，不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘0都等于0
B．自然数都是正整数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．一定存在没有最大值的二次函数
答案 D
解析 D选项是存在量词命题．
2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．
3．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
答案 C
解析 “∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．
4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤8
解析 ∵对任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.
5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．
(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；
(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(3)每个二次函数的图象都与x轴相交．
解 (1)存在量词命题．
∵∀x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，不存在x∈R，
使|x|＋2≤0.故命题为假命题．
(2)存在量词命题．
∵x2＋x＋8＝22＋4>0，∴命题为假命题．
(3)全称量词命题，假命题．
如存在y＝x2＋x＋1与x轴不相交．