7．1.2　复数的几何意义

 问题导学

预习教材P70－P72的内容，思考以下问题：

1．复平面是如何定义的？

2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？

3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？

1．复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的两种几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应(←――→)复平面内的点Z(a，b)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 一一对应(←――→)平面向量→(OZ).

■名师点拨 

(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.

(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．

(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时应大写．

3．复数的模

复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为→(OZ)，则→(OZ)的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．

■名师点拨 

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值)．

4．共轭复数

(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

(3)复数z的共轭复数用－(z)表示，即如果z＝a＋bi，那么－(z)＝a－bi．

■名师点拨

复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为(a，b)，复数－(z)＝a－bi在复平面内对应的点为(a，－b)，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．

 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)原点是实轴和虚轴的交点．(　　)

(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．(　　)

(3)若|z₁|＝|z₂|，则z₁＝z₂.(　　)

(4)若z₁与z₂互为共轭复数，则|z₁|＝|z₂|.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

 复数1－2i在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案：D

 复数z＝1＋3i的模等于(　　)

A．2   B．4

C.   D．2

答案：C

 复数z＝－2＋5i的共轭复数－(z)＝________．

答案：－2－5i

复数与复平面内的点

　已知复数z＝(a²－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．

(1)在实轴上；

(2)在第三象限．

【解】　(1)若z对应的点在实轴上，则有

2a－1＝0，解得a＝2(1).

(2)若z对应的点在第三象限，则有

2a－1<0，(a2－1<0，)解得－1<a<2(1).

故a的取值范围是2(1).

[变条件]本例中复数z不变，若点Z在抛物线y²＝4x上，求a的值．

解：若z对应的点(a²－1，2a－1)在抛物线y²＝4x上，则有(2a－1)²＝4(a²－1)，即4a²－4a＋1＝4a²－4，解得a＝4(5).

利用复数与点的对应解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．　 

　在复平面内，若复数z＝(m²－m－2)＋(m²－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.

解：(1)若复数z的对应点在虚轴上，则m²－m－2＝0，

所以m＝－1或m＝2，

所以z＝6i或z＝0.

(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，

则m2－3m＋2＝0，(m2－m－2<0，)所以m＝1，所以z＝－2.

复数与复平面内的向量

　在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．

【解】　法一：由复数的几何意义得A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，则AC的中点为2(3)，由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D(x，y)，则，(3)所以y＝3，(x＝3，)即点D的坐标为(3，3)，所以点D对应的复数为3＋3i.

法二：由已知得→(OA)＝(0，1)，→(OB)＝(1，0)，→(OC)＝(4，2)，

所以→(BA)＝(－1，1)，→(BC)＝(3，2)，

所以→(BD)＝→(BA)＋→(BC)＝(2，3)，所以→(OD)＝→(OB)＋→(BD)＝(3，3)，

即点D对应的复数为3＋3i.

复数与平面向量的对应关系

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．　 

1．已知平面直角坐标系中O是原点，向量→(OA)，→(OB)对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量→(BA)对应的复数是(　　)

A．－5＋5i　　　　　　　　 B．5－5i

C．5＋5i   D．－5－5i

解析：选B.向量→(OA)，→(OB)对应的复数分别记作z₁＝2－3i，z₂＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量→(OA)＝(2，－3)，→(OB)＝(－3，2)．

由向量减法的坐标运算可得向量→(BA)＝→(OA)－→(OB)＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，

根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量→(BA)对应的复数是5－5i.

2．在复平面内，O为原点，向量→(OA)表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量→(OB)表示的复数为(　　)

A．－2－i   B．－2＋i

C．1＋2i   D．－1＋2i

解析：选B.由题意得A(－1，2)，则B(－2，1)，所以向量→(OB)表示的复数为－2＋i.

复数的模

　(1)设复数z₁＝a＋2i，z₂＝－2＋i且|z₁|<|z₂|，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1<a<1   B．a<－1或a>1

C．a>1   D．a>0

(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|²－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是(　　)

A．1个圆   B．线段

C．2个点   D．2个圆

【解析】　(1)由题意得<，即<(a∈R)，所以－1<a<1.

(2)由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，

即|z|＝3或|z|＝－1，

因为|z|≥0，所以|z|＝3，

所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．

【答案】　(1)A　(2)A

求解复数的模的思路

解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．　 

1．已知z₁＝5＋3i，z₂＝5＋4i，下列选项中正确的是(　　)

A．z₁>z₂   B．z₁<z₂

C．|z₁|>|z₂|   D．|z₁|<|z₂|

解析：选D.|z₁|＝|5＋3i|＝＝，

|z₂|＝|5＋4i|＝＝.

因为<，所以|z₁|<|z₂|.

2．已知复数z＝3＋ai(a∈R)，且|z|<4，求实数a的取值范围．

解：法一：因为z＝3＋ai(a∈R)，所以|z|＝，

由已知得3²＋a²<4²，所以a²<7，所以a∈(－，)．

法二：由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，

由图可知－<a<.

1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－3，1)　　　　　　　 B．(－1，3)

C．(1，＋∞)   D．(－∞，－3)

解析：选A.由题意得m－1<0，(m＋3>0，)解得－3<m<1.

2．在复平面内，O为原点，向量→(OA)对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量→(OB)对应的复数为(　　)

A．－2－i   B．2＋i

C．1＋2i   D．－1＋2i

解析：选D.由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(－1，2)，故向量→(OB)对应的复数为－1＋2i.

3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．

解析：依题意，可知z＝a＋i(a∈R)，则|z|²＝a²＋1.因为0＜a＜2，所以a²＋1∈(1，5)，即|z|∈(1，)．

答案：(1，)

4．若复数z₁＝2＋bi与复数z₂＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．

解析：因为z₁与z₂互为共轭复数，

所以a＝2，b＝4.

答案：2　4

[A　基础达标]

1．已知复数z＝a＋a²i(a<0)，则复数z在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a²i对应的点(a，a²)位于第二象限．

2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是(　　)

A.   B.

C．5   D．25

解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为＝5，故选C.

3．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为，则复数z＝(　　)

A．3－i   B.－3i

C．2－i   D.－2i

解析：选D.由题意可设复数z＝＋yi(y∈R，y<0)，则＝3，所以y＝－2，复数z＝－2i.故选D.

4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A．5   B.

C．2   D．2

解析：选A.由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，

所以3－2x＝y＋5，(x＋6＝3，)解得y＝4，(x＝－3，)所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5，故选A.

5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z＝2(1)＋2(3)i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针旋转90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是(　　)

A．－2(1)＋2(3)i   B.2(1)－2(3)i

C．－2(3)＋2(1)i   D.2(3)－2(1)i

解析：选C.|OZ|＝|z|＝1，故Z点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z′，所以Z′(cos 150°，sin 150°)＝2(1)，则Z′对应的复数是－2(3)＋2(1)i.

6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________．

解析：|z|＝≤2，解得－2(3)≤m≤2(3).

答案：3()

7．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝____________．

解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.

答案：1＋2i或－1－2i

8．若复数z₁＝3－5i，z₂＝1－i，z₃＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________．

解析：设复数z₁，z₂，z₃分别对应点P₁(3，－5)，P₂(1，－1)，P₃(－2，a)，由已知可得3－1(－5＋1)＝－2－1(a＋1)，从而可得a＝5.

答案：5

9．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m²－5m－14)i的点：

(1)位于第四象限；

(2)位于第一、三象限；

(3)位于直线y＝x上．

解：(1)由题意得m2－5m－14<0，(m－3>0，)解得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．

(2)由题意得m2－5m－14>0(m－3>0，)或m2－5m－14<0.(m－3<0，)

所以m>7或－2<m<3，

此时复数z对应的点位于第一、三象限．

(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m²－5m－14＝m－3，

所以m²－6m－11＝0，

所以m＝3±2，

此时复数z对应的点位于直线y＝x上．

10．在复平面内，O是原点，向量→(OA)对应的复数为2＋i.

(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量→(OB)对应的复数；

(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．

解：(1)设向量→(OB)对应的复数为z₁＝x₁＋y₁i(x₁，y₁∈R)，则点B的坐标为(x₁，y₁)，由题意可知，点A的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x₁＝2，y₁＝－1，

故z₁＝2－i.

(2)设点C对应的复数为z₂＝x₂＋y₂i(x₂，y₂∈R)，

则点C的坐标为(x₂，y₂)，由对称性可知，x₂＝－2，y₂＝－1，

故z₂＝－2－i.

[B　能力提升]

11．若θ∈π(5)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈π(5)，所以cos θ＋sin θ＝sin4(π)<0，sin θ－cos θ＝sin(θ－4(π))>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.

12．已知复数z满足|z|＝ 2，则|z＋3－4i|的最小值是(　　)

A．5   B．2

C．7   D．3

解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝5－2＝3.

13．i为虚数单位，设复数z₁，z₂在复平面内对应的点关于原点对称，若z₁＝2－3i，则z₂＝________．

解析：因为z₁＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z₁，z₂在复平面内对应的点关于原点对称，所以z₂在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z₂＝－2＋3i.

答案：－2＋3i

14．已知复数z₁＝cos θ＋isin 2θ，z₂＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时，

(1)z₁，z₂在复平面内对应的点关于实轴对称；

(2)|z₂|<.

解：(1)在复平面内，z₁与z₂对应的点关于实轴对称，则sin 2θ＝－cos θ，(3sin θ，)⇒，(π)

(k∈Z)，所以θ＝2kπ＋6(7π)(k∈Z)．

(2)由|z₂|<，得<，

即3sin² θ＋cos² θ<2，

所以sin²θ<2(1)，

所以kπ－4(π)<θ<kπ＋4(π)(k∈Z)．

[C　拓展探究]

15．设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

(1)|z|＝；

(2)|z|≤3.

解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

(1)|z|＝，所以x²＋y²＝2，

所以点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆．

(2)|z|≤3，所以x²＋y²≤9.

所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．