7．2.2　复数的乘、除运算

 问题导学

预习教材P77－P79的内容，思考以下问题：

1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？

2．复数乘法的运算律有哪些？

3．如何在复数范围内求方程的解？

1．复数乘法的运算法则和运算律

(1)复数乘法的运算法则

设z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z₁·z₂＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

(2)复数乘法的运算律

对任意复数z₁，z₂，z₃∈C，有

■名师点拨 

对复数乘法的两点说明

(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i²换成－1)．

(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．

2．复数除法的运算法则

设z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)，

则z2(z1)＝c＋di(a＋bi)＝c2＋d2(ac＋bd)＋c2＋d2(bc－ad)i(c＋di≠0)．

■名师点拨

对复数除法的两点说明

(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．

 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个复数的积与商一定是虚数．(　　)

(2)两个共轭复数的和与积是实数．(　　)

(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

 (1＋i)(2－i)＝(　　)

A．－3－i　　　　　　　　 B．－3＋i

C．3－i   D．3＋i

答案：D

 (2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)

A．－1－i   B．－1＋i

C．1－i   D．1＋i

解析：选D.由z(1＋i)＝2i，得z＝1＋i(2i)＝（1＋i）（1－i）(2i（1－i）)＝2(2i（1－i）)＝i(1－i)＝1＋i.

 复数z＝1＋i(4－i)的虚部为________．

解析：z＝1＋i(4－i)＝（1＋i）（1－i）(（4－i）（1－i）)＝2(3－5i)＝2(3)－2(5)i.

答案：－2(5)

复数的乘法运算

　(1)(1－i)3()(1＋i)＝(　　)

A．1＋i　　　　　　　　 B．－1＋i

C.＋i   D．－＋i

(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)²＝(　　)

A．5－4i   B．5＋4i

C．3－4i   D．3＋4i

(3)把复数z的共轭复数记作－(z)，已知(1＋2i) －(z)＝4＋3i，求z.

【解】　(1)选B.(1－i)3()(1＋i)

＝(1－i)(1＋i)3()

＝(1－i²)3()

＝23()＝－1＋i.

(2)选D.因为a－i与2＋bi互为共轭复数，

所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)²＝(2＋i)²＝3＋4i.

(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－(z)＝a－bi，

由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的条件知，

解得a＝2，b＝1，

所以z＝2＋i.

复数乘法运算法则的应用

复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i²换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)²＝a²＋2abi＋b²i²＝a²－b²＋2abi，(a＋bi)³＝a³＋3a²bi＋3ab²i²＋b³i³＝a³－3ab²＋(3a²b－b³)i.　 

1．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________．

解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)

＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)

＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.

答案：－5－15i

2．已知z∈C，－(z)为z的共轭复数，若z·－(z)－3i－(z)＝1＋3i，求z.

解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－(z)＝a－bi(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，

即a²＋b²－3b－3ai＝1＋3i，则有－3a＝3，(a2＋b2－3b＝1，)

解得b＝0(a＝－1，)或b＝3，(a＝－1，)所以z＝－1或z＝－1＋3i.

复数的除法运算

　计算：

(1)2＋i(（1＋2i）2＋3（1－i）)；

(2)3＋4i(（1－4i）（1＋i）＋2＋4i).

【解】　(1)2＋i(（1＋2i）2＋3（1－i）)＝2＋i(－3＋4i＋3－3i)

＝2＋i(i)＝5(i（2－i）)＝5(1)＋5(2)i.

(2)3＋4i(（1－4i）（1＋i）＋2＋4i)＝3＋4i(5－3i＋2＋4i)＝3＋4i(7＋i)

＝（3＋4i）（3－4i）(（7＋i）（3－4i）)＝25(21－28i＋3i＋4)＝25(25－25i)＝1－i.

复数除法运算法则的应用

复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．　 

1.1－2i(1＋2i)＝(　　)

A．－5(4)－5(3)i   B．－5(4)＋5(3)i

C．－5(3)－5(4)i   D．－5(3)＋5(4)i

解析：选D.1－2i(1＋2i)＝（1－2i）（1＋2i）(（1＋2i）（1＋2i）)＝1－（2i）2(1－4＋4i)＝5(－3＋4i)＝－5(3)＋5(4)i，故选D.

2．计算：

(1)2－3i(3＋2i)＋2＋3i(3－2i)；(2)（1＋i）（i－1）＋i(（i－2）（i－1）).

解：(1)2－3i(3＋2i)＋2＋3i(3－2i)＝2－3i(i（2－3i）)＋2＋3i(－i（2＋3i）)＝i－i＝0.

(2)（1＋i）（i－1）＋i(（i－2）（i－1）)＝i－1＋i2－i＋i(i2－i－2i＋2)

＝i－2(1－3i)＝5(－2－i＋6i＋3i2)＝5(－5＋5i)＝－1＋i.

i的运算性质

　(1)复数z＝1＋i(1－i)，则ω＝z²＋z⁴＋z⁶＋z⁸＋z¹⁰的值为(　　)

A．1   B．－1

C．i   D．－i

(2)1－i(1＋i)等于________．

【解析】　(1)z²＝1＋i(1－i)＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.

(2)1－i(1＋i)＝（1－i）（1＋i）(（1＋i）（1＋i）)＝2(2i)＝i^{2 019}＝(i⁴)⁵⁰⁴·i³＝1⁵⁰⁴·(－i)＝－i.

【答案】　(1)B　(2)－i

(1)i的周期性要记熟，即iⁿ＋i^n＋1＋i^n＋2＋i^n＋3＝0(n∈N^*)．

(2)记住以下结果，可提高运算速度．

①(1＋i)²＝2i，(1－i)²＝－2i.

②1＋i(1－i)＝－i，1－i(1＋i)＝i.

③i(1)＝－i.　 

　已知z＝－2(1－i)，求z¹⁰⁰＋z⁵⁰＋1的值．

解：因为(1－i)²＝1－2i＋i²＝－2i，

所以z¹⁰⁰＋z⁵⁰＋1＝2(1－i)＋2(1－i)＋1

＝2(1)(1－i)¹⁰⁰＋2(1)(1－i)⁵⁰＋1

＝250(1)(－2i)⁵⁰＋225(1)(－2i)²⁵＋1＝i⁵⁰－i²⁵＋1＝i²－i＋1＝－i.

在复数范围内解方程

　在复数范围内解下列方程．

(1)x²＋5＝0；

(2)x²＋4x＋6＝0.

【解】　(1)因为x²＋5＝0，所以x²＝－5，

又因为(i)²＝(－i)²＝－5，

所以x＝±i，

所以方程x²＋5＝0的根为±i.

(2)法一：因为x²＋4x＋6＝0，

所以(x＋2)²＝－2，

因为(i)²＝(－i)²＝－2，

所以x＋2＝i或x＋2＝－i，

即x＝－2＋i或x＝－2－i，

所以方程x²＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.

法二：由x²＋4x＋6＝0知Δ＝4²－4×6＝－8<0，

所以方程x²＋4x＋6＝0无实数根．

在复数范围内，设方程x²＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

则(a＋bi)²＋4(a＋bi)＋6＝0，

所以a²＋2abi－b²＋4a＋4bi＋6＝0，

整理得(a²－b²＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，

所以2ab＋4b＝0，(a2－b2＋4a＋6＝0，)

又因为b≠0，

所以2a＋4＝0，(a2－b2＋4a＋6＝0，)

解得a＝－2，b＝±.

所以x＝－2±i，

即方程x²＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.

在复数范围内，实系数一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法

(1)求根公式法

①当Δ≥0时，x＝2a(b2－4ac).

②当Δ<0时，x＝2a(－（b2－4ac）i).

(2)利用复数相等的定义求解

设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　 

1．在复数范围内解方程2x²＋3x＋4＝0.

解：因为b²－4ac＝3²－4×2×4＝9－32＝－23<0，

所以方程2x²＋3x＋4＝0的根为x＝2×2(－（－23）i)＝4(23i).

2．已知3＋2i是关于x的方程2x²＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．

解：因为3＋2i是方程2x²＋px＋q＝0的根，

所以2(3＋2i)²＋p(3＋2i)＋q＝0，即2(9＋12i－4)＋(3p＋2pi)＋q＝0，

整理得(10＋3p＋q)＋(24＋2p)i＝0，

所以24＋2p＝0，(10＋3p＋q＝0，)解得q＝26.(p＝－12，)

1．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝(　　)

A．－2　　　　　　　　　　 B．－2(1)

C.2(1)   D．2

解析：选D.因为(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i是纯虚数，所以b＝2.

2．已知i为虚数单位，则复数2－i(i)的模等于(　　)

A.   B.

C.3(3)   D.5(5)

解析：选D.因为2－i(i)＝（2－i）（2＋i）(i（2＋i）)＝5(i（2＋i）)＝－5(1)＋5(2)i，

所以|2－i(i)|＝|－5(1)＋5(2)i|＝）2(2)＝5(5)，故选D.

3．计算：(1)（1－i）2(2＋2i)＋1＋i(2)；

(2)(4－i⁵)(6＋2i⁷)＋(7＋i¹¹)(4－3i)．

解：(1)（1－i）2(2＋2i)＋1＋i(2)

＝－2i(2＋2i)＋2i(2)＝i(1＋i)＋i(1)

＝－1＋i＋(－i)^{1 009}＝－1＋i－i＝－1.

(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)

＝22－14i＋25－25i＝47－39i.

[A　基础达标]

1．复数1－i(i2＋i3＋i4)＝(　　)

A．－2(1)－2(1)i　　　　　　　 B．－2(1)＋2(1)i

C.2(1)－2(1)i   D.2(1)＋2(1)i

解析：选C.因为i²＝－1，i³＝－i，i⁴＝1，所以1－i(i2＋i3＋i4)＝1－i(－i)＝2(－i（1＋i）)＝2(1)－2(1)i.

2．(2019·安徽六安一中模考)设复数z＝1＋bi(b∈R)且z²＝－3＋4i，则z的共轭复数－(z)的虚部为(　　)

A．－2   B．－2i

C．2   D．2i

解析：选A.z²＝(1＋bi)²＝1－b²＋2bi＝－3＋4i，

所以2b＝4(1－b2＝－3)，所以b＝2，故z＝1＋2i，－(z)＝1－2i.

故选A.

3．若复数z满足－(z)－()＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)

A．1－i   B．1＋i

C．－1－i   D．－1＋i

解析：选A.由题意－(z)＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i，故选A.

4．(2019·江西赣州寻乌中学期末)若复数b－i(a＋i)＝2－i(其中a，b是实数，i是虚数单位)，则复数a＋bi在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：选C.由b－i(a＋i)＝2－i，可得a＋i＝(b－i)(2－i)，即a＋i＝2b－1－(2＋b)i，所以

解得

所以复数a＋bi在复平面内所对应的点的坐标为(－7，－3)，位于第三象限，故选C.

5．设复数z满足1－z(1＋z)＝i，则|z|＝(　　)

A．1   B.

C.   D．2

解析：选A.由1－z(1＋z)＝i，得z＝1＋i(－1＋i)＝2(（－1＋i）（1－i）)＝2(2i)＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.

6．复数z满足方程－(z)i＝1－i，则z＝________．

解析：由题意可得－(z)＝i(1－i)＝i·（－i）(（1－i）（－i）)＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i.

答案：－1＋i

7．已知i为虚数单位，若复数z＝2－i(1＋2i)，z的共轭复数为－(z)，则z·－(z)＝________．

解析：依题意，得z＝（2－i）（2＋i）(（1＋2i）（2＋i）)＝i，所以－(z)＝－i，所以z·－(z)＝i·(－i)＝1.

答案：1

8．设复数z＝－2＋i，若复数z＋z(1)的虚部为b，则b等于________．

解析：因为z＝－2＋i，所以z＋z(1)＝－2＋i＋－2＋i(1)＝－2＋i＋（－2＋i）（－2－i）(－2－i)＝－2＋i－5(2)－5(1)i＝－5(12)＋5(4)i，所以b＝5(4).

答案：5(4)

9．计算：

(1)3()(2－i)(3＋i)；

(2)（5－4i）（1－i）(2i）2（4＋5i）).

解：(1)3()(2－i)(3＋i)

＝3()(7－i)

＝2(3－7)＋2(3＋1)i.

(2)（5－4i）（1－i）(2i）2（4＋5i）)＝5－4－9i(4i（4＋5i）)

＝1－9i(－20＋16i)＝82(－4（5－4i）（1＋9i）)

＝82(－4（41＋41i）)

＝－2－2i.

10．已知复数z₁＝1－i，z₂＝4＋6i，i为虚数单位．

(1)求z1(z2)；

(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z₁为实数，求|z|.

解：(1)z1(z2)＝1－i(4＋6i)＝（1－i）（1＋i）(（4＋6i）（1＋i）)＝2(－2＋10i)＝－1＋5i.

(2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z₁＝2＋(b－1)i，

因为z＋z₁为实数，

所以b－1＝0，所以b＝1，所以z＝1＋i，

所以|z|＝.

[B　能力提升]

11．已知复数z＝1－i，则z－1(z2－2z)＝(　　)

A．2i   B．－2i

C．2   D．－2

解析：选B.法一：因为z＝1－i，

所以z－1(z2－2z)＝1－i－1(（1－i）2－2（1－i）)＝－i(－2)＝－2i.

法二：由已知得z－1＝－i，从而z－1(z2－2z)＝z－1(（z－1）2－1)＝－i(（－i）2－1)＝i(2)＝－2i.

12．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝1－2i(a)＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)

A．a－5b＝0   B．3a－5b＝0

C．a＋5b＝0   D．3a＋5b＝0

解析：选D.因为z＝1－2i(a)＋bi＝（1－2i）（1＋2i）(a（1＋2i）)＋bi＝5(a)＋(5(2a)＋b)i.由题意知，5(a)＝－5(2a)－b，则3a＋5b＝0.

13．在复数范围内，方程x²＋6x＋10＝0的根为x＝________．

解析：因为b²－4ac＝6²－4×1×10＝－4<0，所以

x＝2×1(－（62－40）i)

＝2(4i)

＝2(－6±2i)＝－3±i.

答案：－3±i

14．已知z₁＝1－i，z₂＝2＋2i.

(1)求z₁·z₂；

(2)若z(1)＝z1(1)＋z2(1)，求z.

解：(1)因为z₁＝1－i，z₂＝2＋2i，所以z₁·z₂＝(1－i)(2＋2i)＝4.

(2)由z(1)＝z1(1)＋z2(1)，得z＝z1＋z2(z1·z2)，

所以z＝（1－i）＋（2＋2i）(4)＝3＋i(4)＝5(6－2i)＝5(6)－5(2)i.

[C　拓展探究]

15．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.

(1)求复数z的共轭复数；

(2)若复数ω＝z＋ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．

解：(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.

(2)ω＝－2＋(4＋a)i，复数ω对应向量为(－2，4＋a)，

其模为＝.

又复数z所对应向量为(－2，4)，其模为2.由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得，20＋8a＋a²≤20，a²＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.