8．6　空间直线、平面的垂直

8．6.1　直线与直线垂直

8．6.2　直线与平面垂直

第1课时　直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定

 问题导学

预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：

1．异面直线所成的角的定义是什么？

2．异面直线所成的角的范围是什么？

3．异面直线垂直的定理是什么？

4．直线与平面垂直的定义是什么？

5．直线与平面垂直的判定定理是什么？

1．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．

(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.

■[名师点拨] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．直线与平面垂直

■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．

(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3．直线与平面垂直的判定定理

■名师点拨 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．(　　)

(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

 直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　　　 ．垂直

C．在平面α内   ．无法确定

答案：D

 已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则(　　)

A．a∥α   ．a⊂α

C．a⊥α   ．a是α的斜线

答案：C

 在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，AC与BD相交于点O，则直线OB₁与A₁C₁所成角的度数为________．

解析：连接AB₁，B₁C，因为AC∥A₁C₁，所以∠B₁OC(或其补角)是异面直线OB₁与A₁C₁所成的角．

又因为AB₁＝B₁C，O为AC的中点，所以B₁O⊥AC，

故∠B₁OC＝90°，所以OB₁与A₁C₁所成的角的大小为90°.

答案：90°

　　　　　　　　异面直线所成的角

　如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．

求：(1)BE与CG所成的角；

(2)FO与BD所成的角．

【解】　(1)如图，因为CG∥BF.

所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.

(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．

所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．

连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，

所以△AFH为等边三角形，

又知O为AH的中点，

所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.

1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．

解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，

所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.

2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．

解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF═∥CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°. 

求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．

[提醒]　求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.　 

　如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．

解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.

因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，

所以EG∥CD，GF∥AB，

且EG＝2(1)CD，GF＝2(1)AB.

所以∠GFE(或其补角)就是异面直线EF与AB所成的角，EG＝GF.

因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.

所以∠EGF＝90°.

所以△EFG为等腰直角三角形．

所以∠GFE＝45°，

即EF与AB所成的角为45°.

　　　　　　　　直线与平面垂直的定义

　(1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行　　　　　　　　　　 ．相交

C．异面   ．垂直

(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α  B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m  D．若l∥α，m∥α，则l∥m

【解析】　(1)因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．

又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．

由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.

故l与m不可能平行．

(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．

【答案】　(1)A　(2)B

对线面垂直定义的理解

(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．

(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.　 

　下列命题中，正确的序号是________．

①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．

解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．

答案：③④

　　　　　　　　直线与平面垂直的判定

　如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.

(1)求证：PC⊥平面AEF；

(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.

【证明】　(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，

所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，

所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，

所以AE⊥PC.

又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，

所以PC⊥平面AEF.

(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，

所以PC⊥AG，

同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，

所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，

所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以AG⊥PD.

1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.

证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，

BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥PA，

因为PA∩AC＝A，

所以BD⊥平面PAC，又FH⊂平面PAC，

所以BD⊥FH.

2．[变条件]若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.

证明：因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥PA，

又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，

所以DC⊥平面PAD，又AG⊂平面PAD，

所以AG⊥DC，

因为PA＝AD，G是PD的中点，

所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，

所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，

又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，

所以PC⊥平面AFG.

3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证：EF⊥平面PCD.

证明：取PD的中点G，连接AG，FG.

因为G，F分别是PD，PC的中点，

所以GF═∥2(1)CD，又AE═∥2(1)CD，所以GF═∥AE，

所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF.

因为PA＝AD，G是PD的中点，

所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，

易知CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，

所以CD⊥AG，所以EF⊥CD.

因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD. 

(1)线线垂直和线面垂直的相互转化

(2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义．

②线面垂直的判定定理．

③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．

[提醒]　要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．　 

　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．

(1)求证：AN⊥平面PBM；

(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.

证明：(1)因为AB为⊙O的直径，

所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.

又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，

所以AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，

PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.

又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，

所以PB⊥平面ANQ.

又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.

1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(　　)

A．a⊥b，且a与b相交

B．a⊥b，且a与b不相交

C．a⊥b

D．a与b不一定垂直

解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．

2．在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，与AD₁垂直的平面是(　　)

A．平面DD₁C₁C　　　　　　　　 ．平面A₁DB₁

C．平面A₁B₁C₁D₁   ．平面A₁DB

解析：选B.因为AD₁⊥A₁D，AD₁⊥A₁B₁，且A₁D∩A₁B₁＝A₁，所以AD₁⊥平面A₁DB₁.

3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线(　　)

A．相交且垂直   ．不相交也不垂直

C．相交不垂直   ．不相交但垂直

解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.

4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．

解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.

答案：60°

[A　基础达标]

1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)

A．α∥β，且m⊂α　　　　　　　　 ．m∥n，且n⊥β

C．m⊥n，且n⊂β   ．m⊥n，且n∥β

解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.

2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是(　　)

A．b⊥β   ．b∥β

C．b⊂β   ．b⊂β或b∥β

解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.

3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是(　　)

解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.

4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形  

B．直角三角形

C．钝角三角形  

D．不确定

解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，

又AC⊥PC，PC∩PB＝P，

所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.

5．在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD₁，则动点P的轨迹是　(　　)

A．线段B₁C

B．线段BC₁

C．BB₁中点与CC₁中点连成的线段

D．BC中点与B₁C₁中点连成的线段

解析：选A.如图，由于BD₁⊥平面AB₁C，故点P一定位于线段B₁C上．

6.如图，在正方形ABCD­A₁B₁C₁D₁中，AC与BC₁所成角的大小是______．

解析：连接AD₁，则AD₁∥BC₁.

所以∠CAD₁(或其补角)就是AC与BC₁所成的角，连接CD₁，在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，AC＝AD₁＝CD₁，

所以∠CAD₁＝60°，

即AC与BC₁所成的角为60°.

答案：60°

7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：

(1)与PC垂直的直线有__________________；

(2)与AP垂直的直线有__________________．

解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.

(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，

AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.

答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC

8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．

解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.

若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，

则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.

在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.

所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.

答案：2

9.如图，在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．证明：AD⊥C₁E.

证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，

所以AD⊥BC.①

又在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，

而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB₁.②

由①②得AD⊥平面BB₁C₁C.

由点E在棱BB₁上运动，得C₁E⊂平面BB₁C₁C，

所以AD⊥C₁E.

10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解：取AC的中点F，连接EF，BF，

在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，

所以EF∥CD，

所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角．

在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，

所以AB＝AC＝1，

在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝2(1)AD＝2(1)，

所以BE＝2(5).

在Rt△AEF中，AF＝2(1)AC＝2(1)，AE＝2(1)，

所以EF＝2(2).

在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝2(1)，所以BF＝2(5).

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝BE(EF)＝2(5)＝10(10)，

所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为10(10).

[B　能力提升]

11．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有且仅有(　　)

A．1条　　　　　　　　　 B．2条

C．3条   D．4条

解析：选B.过空间一点P，作a′∥a，b′∥b.由a′、b′两交线确定平面α，a′与b′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a′、b′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a′、b′成30°的角，即与a、b成30°的角且过点P的直线有两条．

在a′、b′相交另一个130°的角部分内不存在与a′、b′成30°角的直线．故应选B.

12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝1，AA₁＝，则异面直线AD₁与DB₁所成角的余弦值为(　　)

A.5(1)   B.6(5)

C.5(5)   D.2(2)

解析：选C.如图，连接BD₁，交DB₁于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD₁的中点，所以AD₁∥OM，则∠MOD为异面直线AD₁与DB₁所成角．因为在长方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝1，AA₁＝，AD₁＝1(2)1(2)＝2，DM＝2(1)＝2(5)，DB₁＝1(2)1(2)＝，所以OM＝2(1)AD₁＝1，OD＝2(1)DB₁＝2(5)，于是在△DMO中，由余弦定理，得

cos∠MOD＝5()＝5(5)，即异面直线AD₁与DB₁所成角的余弦值为5(5)，故选C.

13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论正确的有(　　)