章末复习提升课

　　　　　　抽样方法

　一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：

按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中A类轿车有10辆．

(1)求z的值；

(2)用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，求舒适型、标准型的轿车应分别抽取多少辆？

【解】　(1)设该厂本月生产轿车n辆，由题意得n(50)＝100＋300(10)，所以n＝2 000，则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.

(2)设所抽取的样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层随机抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以由(1)知1 000(400)＝5(m)，解得m＝2，所以在C类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．

与分层随机抽样有关问题的常见类型及解题策略

(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．

(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．

(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．　 

1．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为______．

解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x人，由分层随机抽样可得180(32)＝90(x)，解得x＝16.

答案：16

2．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本量为______．

解析：因为分层随机抽样的抽样比应相等，所以960(420)＝样本量(14)，样本量＝420(960×14)＝32.

答案：32

　　　　　　频率分布直方图的应用

　下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料(单位：cm)：

(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数)；

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比．

【解】　(1)列出样本频率分布表：

(2)画出频率分布直方图，如图所示．

(3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为

120(5＋8＋10)＝120(23)≈0.19.

所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.

与频率分布直方图有关问题的常见类型

及解题策略

(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据．

(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．　 

　对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图，如图所示：

(1)求表中M，p及图中a的值；

(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数．

解：(1)由分组[10，15)的频数是10，频率是0.25，知

M(10)＝0.25，

解得M＝40.

因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，

得m＝4，p＝M(m)＝40(4)＝0.10.

因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，

所以a＝40×5(24)＝0.12.

(2)因为该校高三学生有240人，分组[10，15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为240×0.25＝60.

　　　　　　众数、中位数、平均数、方差与标准差的应用

　某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)：

(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；

(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．

【解】　(1) －(x)_甲＝8(1)(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，

－(x)_乙＝8(1)(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．

甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．

(2)由(1)知－(x)_甲＝－(x)_乙＝85分，所以

s甲(2)＝8(1)[(95－85)²＋(82－85)²＋…＋(78－85)²]＝35.5，

s乙(2)＝8(1)[(83－85)²＋(75－85)²＋…＋(95－85)²]＝41.

①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；

②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；

③从方差来看，因为－(x)_甲＝－(x)_乙，s甲(2)＜s乙(2)，所以甲的成绩较稳定；

④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；

⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．

综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．

用样本的数字特征估计总体的数字特征

应注意的问题

(1)众数、中位数、平均数的含义及求法．

(2)方差、标准差的计算．

(3)中位数用来描述分类变量的中心位置，众数体现了数据的最大集中点，平均数反映样本数据的总体水平．

(4)标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小．　 

　为了比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机抽取了该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)列表如下：

以下结论正确的是(　　)

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．

A．①③　　　　　　　　　 B．①④

C．②③   D．②④

解析：选B.法一：因为－(x)_甲＝5(26＋28＋29＋31＋31)＝29，－(x)_乙＝5(28＋29＋30＋31＋32)＝30，

所以－(x)_甲<－(x)_乙，

又s甲(2)＝5(9＋1＋0＋4＋4)＝5(18)，s乙(2)＝5(4＋1＋0＋1＋4)＝2，

所以s_甲>s_乙．故可判断结论①④正确．

法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.

1．(2019·河北省沧州市期末考试)某学校高一、高二年级共有1 800人，现按照分层随机抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有(　　)

A．420人　　　　　　　　 B．480人

C．840人   D．960人

解析：选C.由题意需要从1 800人中抽取90人，所以抽样比为1 800(90)＝20(1).又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有42×20＝840(人)．故选C.

2．(2019·陕西省西安市长安区第一中学期末考试)如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5，10]内的频数为(　　)

A．50   B．40

C．30   D．20

解析：选D.第一个小矩形的面积为0.04×5＝0.2, 所以样本落在[5，10]内的频数为0.2×100＝20.故选D.

3．甲、乙两个城市某年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的是________．

解析：从折线统计图中可以很清楚地看到乙城市的气温变化较大，而甲城市的气温相对来说较稳定，变化基本不大．

答案：甲城市

4．由正整数组成的一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)

解析：假设这组数据按从小到大的顺序排列为x₁，x₂，x₃，x₄，则＝2，(x2＋x3)所以x2＋x3＝4，(x1＋x4＝4，)

又s＝[（x1－2）2＋（x2－2）2＋（x3－2）2＋（x4－2）2](1)

＝2(1)

＝2(1)＝1，

所以(x₁－2)²＋(x₂－2)²＝2.

同理可求得(x₃－2)²＋(x₄－2)²＝2.

由x₁，x₂，x₃，x₄均为正整数，且(x₁，x₂)，(x₃，x₄)均为圆(x－2)²＋(y－2)²＝2上的点，分析知x₁，x₂，x₃，x₄应为1，1，3，3.

答案：1，1，3，3

[A　基础达标]

1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个容量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生为(　　)

A．1 030名　　　　　　　　 B．97名

C．950名   D．970名

解析：选D.由题意，知该中学共有女生2 000×200(200－103)＝970(名)，故选D.

2有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9

[23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 11 [31.5，35.5) 12

[35.5，39.5) 7 [39.5，43.5] 3

则总体中大于或等于31.5的数据所占的比例为(　　)

A.11(2)　　　　　　　　　　　　   B.3(1)

C.2(1)   D.3(2)

解析：选B.由题意知，样本量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本个数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占66(22)＝3(1).

3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)

A．85，85，85   B．87，85，86

C．87，85，85   D．87，85，90

解析：选C.因为得85分的人数最多，为4人，所以众数为85，中位数为85，平均数为10(1)(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.

4．某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为　　(　　)

A．6万元   B．8万元

C．10万元   D．12万元

解析：选C.设11时至12时的销售额为x万元，由于频率分布直方图中各小组的组距相同，故各小矩形的高度之比等于频率之比，也等于销售额之比，所以9时至10时的销售额与11时至12时的销售额的比为0.40(0.10)＝4(1)，

所以有x(2.5)＝4(1)，解得x＝10，故选C.

5．某学校举行的运动会上，七位评委为某位体操选手打出的分数为79，84，84，86，84，87，93，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)

A．84，4.84   B．84，1.6

C．85，1.6   D．85，4

解析：选C.最高分是93分，最低分是79分，所剩数据的平均数为－(x)＝80＋5(4×3＋6＋7)＝85，方差为s²＝5(1)×[(84－85)²×3＋(86－85)²＋(87－85)²]＝1.6，故选C.

6．12，13，25，26，28，31，32，40的25%分位数为________，80%分位数为________．

解析：因为8×25%＝2，8×80%＝6.4.所以25%分位数为2(x2＋x3)＝2(13＋25)＝19，80%分位数为x₇＝32.

答案：19　32

7．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为________mm.

解析：根据频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为(12.5×0.02＋17.5×0.04＋22.5×0.08＋27.5×0.03＋32.5×0.03)×5＝22.75 mm.

答案：22.75

8．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款为________元．

解析：由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．

答案：37 770

9．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：

(1)填充频率分布表中的空格；

(2)如图，不具体计算组距(频率)，补全频率分布直方图；

(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．

解：(1)0.08(4)＝50，即样本量为50.

第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，

从而第5组的频率为50(12)＝0.24.

又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12，0.24，50，1.

(2)根据小长方形的高与频数成正比，设第一个小长方形的高为h₁，第二个小长方形的高为h₂，第五个小长方形的高为h₅.

由等量关系得h2(h1)＝2(1)，h5(h1)＝3(1)，补全的频率分布直方图如图所示．

(3)50名学生竞赛的平均成绩为

－(x)＝50(4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×95)＝79.8≈80(分)．

利用样本估计总体的思想可得这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．

[B　能力提升]

10．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是________．

解析：众数是一组数据出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数最大，据此估计此次考试成绩的众数是115.

答案：115

11．某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．

(1)频率分布直方图中x的值为________；

(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，估计新生中可以申请住校的学生有________名．

解析：(1)由频率分布直方图，可得20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.012 5.

(2)新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144，所以1 200名新生中约有144名学生可以申请住校．

答案：(1)0.012 5　(2)144

12．共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：

表(一)

表(二)

表(三)

(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：

(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．

解：(1)

(2)由表(一)可知：年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的一半，用样本估计总体的思想可知，某城区30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×2(1)＝15(万人)；又年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的4(1)，用样本估计总体的思想可知，年龄在26岁～35岁之间15万人中每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×4(1)＝4(15)(万人)，所以年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次之间的人数约为4(15)万人．

[C　拓展探索]

13．某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：

40．02　40.00　39.98　40.00　39.99

40．00　39.98　40.01　39.98　39.99

40．00　39.99　39.95　40.01　40.02

39．98　40.00　39.99　40.00　39.96

(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；

(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格数．

解：(1)频率分布表：

频率分布直方图：

(2)因为抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，所以合格率为20(18)×100%＝90%，

所以10 000×90%＝9 000(只)．

即根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格数为9 000只．