10．1.3　古典概型

 问题导学

预习教材P233－P238的内容，思考以下问题：

1．古典概型的定义是什么？

2．古典概型有哪些特征？

3．古典概型的计算公式是什么？

1．古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

■名师点拨 

古典概型的判断

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．

下列三类试验都不是古典概型：

①样本点个数有限，但非等可能．

②样本点个数无限，但等可能．

③样本点个数无限，也不等可能．

2．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

P(A)＝n(k)＝n（Ω）(n（A）).

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

 同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是(　　)

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

解析：选D.事件A包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．故选D.

 若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为(　　)

A.5(1)   B.10(3)

C.5(3)   D.2(1)

解析：选B.基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为10(3)，故选B.

 (2019·河北省石家庄市期末考试)将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是(　　)

A.3(2)   B.6(5)

C.36(29)   D.4(3)

解析：选B.由题意，连续抛掷两次骰子共有6×6＝36种情况；绝对值大于3的有(1，5)，(1，6)，(2，6)，(5，1)，(6，1)，(6，2)共6种，所以绝对值不大于3有：36－6＝30种，故所求概率P＝36(30)＝6(5).故选B.

 下列概率模型：

①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；

②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；

③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；

④一只使用中的灯泡的寿命长短；

⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．

其中属于古典概型的是________．

解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，显然满足有限性和等可能性；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．

答案：③

　　　　　　　　样本点的列举

　一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．

(1)共有多少个样本点？

(2)“2个都是白球”包含几个样本点？

【解】　(1)法一：采用列举法．

分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．

法二：采用列表法．

设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：

由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个样本点．

(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．

样本点的三种列举方法

(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．　 

(2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．

(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．

　袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球．这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求样本点的个数．

解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：

共24个样本点．

　　　　　　　　古典概型的概率计算

　(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)

A.5(4)　　　　　　　　　 B.5(3)

C.5(2)   D.5(1)

(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

【解析】　(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝10(4)＝5(2).

(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为10(3).

【答案】　(1)C　(2)10(3) 

求古典概型概率的步骤

(1)判断是否为古典概型．

(2)算出样本点的总数n.

(3)算出事件A中包含的样本点个数m.

(4)算出事件A的概率，即P(A)＝n(m).

在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．　 

1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)

A.10(3)   B.5(1)

C.10(1)   D.20(1)

解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为10(1).故选C.

2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)

A.5(1)   B.5(2)

C.5(3)   D.5(4)

解析：选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种．

选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．故所求概率为10(6)＝5(3).

　　　　　　　　数学建模——古典概型的实际应用

　已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

【解】　(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种．

(ii)由(1)设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝21(5).

如何建立概率模型(古典概型)

(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．

(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等．

(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．　 

　(2019·高考天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．

②由表格知，符合题意的所有可能结果为(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共11种．

所以事件M发生的概率P(M)＝15(11).

1．下列是古典概型的是(　　)

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小．

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率．

③近三天中有一天降雨的概率．

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

A．①②③④　　　　　　　 B．①②④

C．②③④   D．①③④

解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．

2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为　(　　)

A.3(1)　　　　 B.4(1)        C.5(1)　　　　 D.6(1)

解析：选A.甲乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有如下情形：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共有9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝3(1).

3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为(　　)

A.5(2)　　　　B.5(1)         C.10(3)　　　　 D.5(3)

解析：选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为10(3).

4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．

解析：可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为16(4)＝4(1).

答案：4(1)

5．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：

(1)2只球都是红球的概率；

(2)2只球同色的概率；

(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？

解：记两只白球分别为a₁，a₂；两只红球分别为b₁，b₂；两只黄球分别为c₁，c₂.

从中随机取2只球的所有结果为(a₁，a₂)，(a₁，b₁)，(a₁，b₂)，(a₁，c₁)，(a₁，c₂)，(a₂，b₁)，(a₂，b₂)，(a₂，c₁)，(a₂，c₂)，(b₁，b₂)，(b₁，c₁)，(b₁，c₂)，(b₂，c₁)，(b₂，c₂)，(c₁，c₂)共15种结果．

(1)2只球都是红球为(b₁，b₂)共1种，

故2只球都是红球的概率P＝15(1).

(2)2只球同色的有：(a₁，a₂)，(b₁，b₂)，(c₁，c₂)，共3种，

故2只球同色的概率P＝15(3)＝5(1).

(3)恰有一只是白球的有：(a₁，b₁)，(a₁，b₂)，(a₁，c₁)，(a₁，c₂)，(a₂，b₁)，(a₂，b₂)，(a₂，c₁)，(a₂，c₂)，共8种，其概率P＝15(8)；

2只球都是白球的有：(a₁，a₂)，1种，故概率P＝15(1)，

所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．

[A　基础达标]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A.3(2)　　　　　　　　　 B.5(3)

C.5(2)   D.5(1)

解析：选B.设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则样本点共有10种，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为10(6)＝5(3)，选B.

2．(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)

A.6(1)   B.4(1)

C.3(1)   D.2(1)

解析：选D.将两位男同学分别记为A₁，A₂，两位女同学分别记为B₁，B₂，则四位同学排成一列，情况有A₁A₂B₁B₂，A₁A₂B₂B₁，A₂A₁B₁B₂，A₂A₁B₂B₁，A₁B₁A₂B₂，A₁B₂A₂B₁，A₂B₁A₁B₂，A₂B₂A₁B₁，B₁A₁A₂B₂，B₁A₂A₁B₂，B₂A₁A₂B₁，B₂A₂A₁B₁，A₁B₁B₂A₂，A₁B₂B₁A₂，A₂B₁B₂A₁，A₂B₂B₁A₁，B₁B₂A₁A₂，B₁B₂A₂A₁，B₂B₁A₁A₂，B₂B₁A₂A₁，B₁A₁B₂A₂，B₁A₂B₂A₁，B₂A₁B₁A₂，B₂A₂B₁A₁，共有24种，其中2名女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝2(1)，故选D.

3．(2019·福建省三明市质量检测)同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则方程2x²＋ax＋b＝0有两个不等实根的概率为(　　)

A.5(1)   B.4(1)

C.3(1)   D.2(1)

解析：选B.因为方程2x²＋ax＋b＝0有两个不等实根，所以Δ＝a²－8b>0，

又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a，b，则共包含36个样本点，

满足a²－8b>0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个样本点，所以方程2x²＋ax＋b＝0有两个不等实根的概率为36(9)＝4(1).故选B.

4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为(　　)

A.6(1)   B.3(1)

C.2(1)   D.3(2)

解析：选B.所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，所以P＝6(2)＝3(1).故选B.

5．(2019·河北省沧州市期末考试)定义：abcde＝10 000a＋1 000b＋100c＋10d＋e，当五位数abcde满足a<b<c，且c>d>e时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为(　　)

A.6(1)   B.10(1)

C.12(1)   D.20(1)

解析：选D.由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个样本点，所以恰好为“凸数”的概率为P＝120(6)＝20(1).故选D.

6．(2019·湖北省四地七校联考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于________．

解析：掷两颗均匀的骰子，共有36个样本点，点数之和为6的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)这五种，因此所求概率为36(5).

答案：36(5)

7．(2019·广西钦州市期末考试)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为________．

解析：从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)共10种，

满足2本书编号相连的所有可能情况为(1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)共4种，

故选出的2本书编号相连的概率为10(4)＝5(2).

答案：5(2)

8．某城市有8个商场A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往商场H，则他经过市中心O的概率为________．

解析：此人从商场A前往商场H的所有最短路径有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条，其中经过市中心O的有4条，所以所求概率为3(2).

答案：3(2)

9．(2019·广西钦州市期末考试)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为x，y.

(1)若记“x＋y＝5”为事件A，求事件A发生的概率；

(2)若记“x²＋y²≤10”为事件B，求事件B发生的概率．

解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，

抛掷第2次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，

因为骰子共抛掷2次，所以共有6×6＝36种结果.

(1)事件A发生的样本点有(1，4)、(2，3)、(4，1)、(3，2)共4种结果，  

所以事件A发生的概率为P(A)＝36(4)＝9(1).

(2)事件B发生的样本点有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)共6种结果，所以事件B发生的概率为P(B) ＝36(6)＝6(1).

10．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．

(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；

(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．

解：记甲厂派出的2名男职工为A₁，A₂，1名女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B₁，B₂，2名女职工为b₁，b₂.

(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A₁，B₁)，(A₁，B₂)，(A₁，b₁)，(A₁，b₂)，(A₂，B₁)，(A₂，B₂)，(A₂，b₁)，(A₂，b₂)，(a，B₁)，(a，B₂)，(a，b₁)，(a，b₂)，共12种．其中选出的2名职工性别相同的选法有(A₁，B₁)，(A₁，B₂)，(A₂，B₁)，(A₂，B₂)，(a，b₁)，(a，b₂)，共6种．

故选出的2名职工性别相同的概率P＝12(6)＝2(1).

(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有(A₁，A₂)，(A₁，a)，(A₁，B₁)，(A₁，B₂)，(A₁，b₁)，(A₁，b₂)，(A₂，a)，(A₂，B₁)，(A₂，B₂)，(A₂，b₁)，(A₂，b₂)，(a，B₁)，(a，B₂)，(a，b₁)，(a，b₂)，(B₁，B₂)，(B₁，b₁)，(B₁，b₂)，(B₂，b₁)，(B₂，b₂)，(b₁，b₂)，共21种．