三角函数模型的简单应用

一周强化

一、知识结构

二、重难点知识概述

1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．

2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．

3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．

4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．

5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．

三、例题讲解

例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（　）

A．2π秒　　　　　B．π秒　　　　　　C．0.5秒　　　　　　D．1秒

分析：

　　本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．

解：

　　∵ω=2π，∴．

　　故选D．

说明：

　　客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．

例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．

　　(1)求函数h=f(t)的关系式；

　　(2)画出函数h=f(t)的图象．

解析：

　　本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．

解：

　　(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．

设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．

设∠OO1A=θ，则

又，

即，

所以

(2)函数的图象如下

 

例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)

日期	1月 1日	2月 28日	3月 21日	4月 27日	5月 6日	6月 21日	8月 13日	9月 20日	10月 25日	12月 21日
日期位置 序号x	1	59	80	117	126	172	225	263	298	356
白昼时间 y（小时）	5.6	10.2	12.4	16.4	17.3	19.4	16.4	12.4	8.5	5.4

　　(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；

　　(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)

　　(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．

解：（I）画散点图见下面．

（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为

y=Asin(ωx＋)＋t，

由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，

即ymax=19.4，ymin=5.4，

由19.4－5.4=14，得A=7；

由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；

又T=365，∴，

例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？

解析：

　　在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．

　　现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．

　　在Rt△BAD中，，①

　　在Rt△BCD中，，②

　　比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，

　　所以，

　　所以sinα＞sinβ．

　　又因为α、β都是锐角，所以α＞β．

　　因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．

说明：

　　山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．

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