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向量数乘运算及其几何意义 平面向量的基本定理及坐标表示
一周强化
一、一周内容概述
本周主要学习了向量数乘运算，理解向量数乘运算的几何意义，向量共线的充要条件，平面向量的基本定理，由此理解向量的坐标意义，熟悉向量坐标的运算法则，使向量运算完全代数代，将数与形紧密地结合在一起，这样，就让很多几何问题的证明，转化为熟知的数量运算，向量是解决问题的一个重要方法．
二、重点知识归纳及讲解
1、实数与向量的积
定义 |
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．其长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ|·|a|． ②当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0与a平行． |
运算律 |
①结合律λ (μa)＝(λμ)a ②第一分配律(λ+μ)a＝λa+μa ③第二分配律λ(a+b)＝ λa+λb |
2、两个向量共线的充要条件（向量共线定理）
定理 |
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一实数λ，使b＝λa. |
数学表达式 |
b∥a |
b＝λa(a≠0,λ∈R).3、平面向量基本定理
定理 |
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1+λ2e2. |
基底 |
不共线的e1与e2叫做平面内表示所有向量的一组基底. |
说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行.
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
4、平面向量的坐标表示
定义 |
若i、j为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量a，有且仅有一对实数x、y，使得a＝xi+yi；我们把(x，y)称为向量a的坐标. |
表达式 |
a＝xi+yj＝(x，y) |
5、向量坐标与点坐标的关系
意义 |
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标. |
表达式 |
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |
6、平面向量的坐标运算
加法 |
两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a+b＝(x1+x2，y1+y2) |
减法 |
两个向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) |
实数与向量的积 |
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，即若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) |
7、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则b∥a (a≠0) |
x三、难点知识剖析
1、向量共线的充要条件及平面向量基本定理
准确理解，把握平面向量基本定理的关键是对定理的条件和结论的每个字的含义的理解．如向量共线的充要条件定理中有：
（1）非零向量
；
（2）有且只有一个实数λ；
（3）
；
（4）条件与结论的互推．
这四个方面我们要认真理解、记忆．
2、要证明向量a、b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可．如果a＝b＝0，数λ仍然存在，此时λ并不惟一，是任意数值．
3、关于平面向量的坐标运算，要注意以下几点：
(1)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
(2)通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．
4、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件：
(1)b∥a
b＝λa(a≠0，λ∈R)
(2)b∥a(a≠0)
x1y2－x2y1＝0，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)
四、例题讲解
例1、已知向量a、b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是（ ）
①2a－3b＝4e且a+2b＝-3e；
②存在相异实数λ、μ，使λa+μb＝0；
③xa+yb＝0（其中实数x、y满足x+y＝0）；
④已知梯形ABCD，其中
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
[解析]
例2、如图所示，已知梯形ABCD中AD∥BC，E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC＝3AD，
试以a、b为基底表示
[解析]
例3、如果向量
，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.
[解析]
例4、已知ADCB是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F．试用向量方法证明：AF＝AE.
[解析]
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