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平面向量应用举例
一周强化
一、一周知识概述
向量是区别于数量的一种量，是中学数学中的一个重要概念．向量具有两重性，一是代数属性，二是几何属性，使得数与形的结合体现到极致．向量作为一种重要的数学工具，除在数学中有广泛的应用外，在物理学、工程技术中也有广泛的应用．
二、重难点知识归纳讲解
1、解决平面几何问题
由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，利用向量可以表示出平面几何的许多性质，如平移，平行，垂直、全等、相似以及夹角等，利用向量可以方便地解决平面几何中的一些问题，思路清晰，运算简单．
例1、已知任意凸四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC中点，如图所示．求证：
.
解析：
向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量都可以写成两个或多个向量的和．同样任一向量都可以分成两个向量的差等，本题证法较多，这里选取五种.
证法一：
证法二：
在平面上任取一点O，由中线公式得
证法三：
过点C在平面内作
，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.
∴ EF是△ADG的中位线，∴ EF
DG，
∴
证法四：
如图所示，连EB、EC，则有
又∵ E是AD的中点，
以
为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.
证法五：
例2、如图所示，正方形ABCD中，P为线段BD上任一点，PECF为矩形，求证：
（1）PA=EF；
（2）PA⊥EF.
解析：平面几何问题，有的用向量的方法来处理，会有简洁的解法．此题可设坐标，利用坐标运算．
证明：以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立坐标系.
设C（1，0），A（0,1），P（x，x），则E（x，0），F（1，x）
2、解决函数问题
结合函数的图象，利用向量解决函数有关问题.
例3、过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C，D两点．求证：O，C，D三点在一条直线上．
分析：将共线证明转化为论证向量共线的关系式．
证明：
如图，设A(x1,log8x1)，B(x2,log8x2)，根据已知
共线，
∴x1log8x2－x2log8x1=0．
又根据已知C(x1,log2x1)，D(x2,log2x2)，
∴
∵x1log2x2－x2log2x1=x1log8x23－x2log8x13=3(x1log8x2－x2log8x1)=0，
∴
共线，即O，C，D三点在一条直线上．
三、向量在物理中的应用
运用向量解决物理问题时，必须清楚哪些物理量是向量，可以从以下几方面理解：
1、力，速度，加速度都是向量;
2、力，速度，加速度，位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成;
3、动量
是数乘向量;
4、功定义即力
与所产生位移
的内积.
例4、如图，重力为
的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？
分析：
本题可以通过把球对木板的压力N表示为关于木板夹角θ的函数，再去求N的最小值.
解：
小球受力如图：重力
，斜面弹力
（垂直于斜面），木板弹力
（垂直于木板），其中
与
合力大小恒为︱
︱，方向向上，
方向始终不变，随着木板的转动，
的大小均在变化.
=
，
当sinθ取最大值1时，︱
︱min=︱
︱sinα,此时θ=
.
点评：
对于本题的解答，要结合到物理知识即会对物理进行受力分析，才能探讨出N1与θ的函数关系式.
例5、今有一小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游L=80m处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布.若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小5m/s为，如图所示，为了小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？
分析：本题可分别从数学和物理两个方面进行剖析，因而可以给出以下两种解法.
解法一：
设船的划速为
，方向与上游河岸的夹角为
，如图，将
正交分解为
,
,则
船同时参与两个分运动：一个是沿
方向的速度为
的匀速直线运动，另一个是沿
方向的速度为
的匀速直线运动，这两个分运动的时间
和
必相等，设船到达对岸时，极其靠近河流与瀑布的交界处.
由
∴
令
.
显见，当
时，
有最小值为3m/s.
此时
解法二：在题设条件下，船的临界合速度沿图的PQ方向，设
，从A向PQ作垂线，垂足为B，有向线段 AB即表示最小划速的大小和方向，
，
，
可见当
时，
划速方向与解法一相同.
点评：对于本题的两种解法中，分别从速度的分解与合成入手，体现了数形结合的密不可分的关系．
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