共点力的平衡

【学习目标】

1．知道平衡状态和平衡力的概念。

2．了解共点力作用下物体平衡的概念及其应用条件。

3．会用共点力的平衡条件解决实际问题。

4．知道静态平衡及物体在某一方向的动态平衡。

【核心素养目标】

物理观念：理解共点力的平衡概念，解决实际问题。

科学思维：1．能将实际问题中的对象和过程转换成所学的物理模型；

2．能对简单的平衡问题进行分析和处理，获得结论。

科学探究：能观察物理现象，提出物理问题。

科学态度与责任：认识物理研究是一种对自然现象进行抽象的创造性工作。

【学习重难点】

1．了解共点力作用下物体平衡的概念及其应用条件。

2．会用共点力的平衡条件解决实际问题。

【学习过程】

必备知识•素养奠基

一、物体的平衡状态

1．下列物体处于平衡状态的是___________

①物体m置于木板上，缓缓抬高木板的过程中，物体相对于木板一直静止

②静止在斜面上的木块

③做匀速直线运动的汽车

2．平衡状态：物体_____或做_____________时所处的状态。

二、共点力的平衡条件

1．要使物体保持平衡状态必须满足_________，即__________，__________。

2．（1）物体受两个力时，这两个力的关系是__________（选填“大小相等”或“等大反向”），即合力为零。

（2）物体受三个力时，这三个力中的任意两个力的合力与第三个力_____________（选填“大小相等”或“等大反向”），即合力为_______。

关键能力•素养形成

一、共点力的平衡条件

1．两种平衡情形：

（1）物体在共点力的作用下处于静止状态。

（2）物体在共点力的作用下处于匀速直线运动状态。

2．两种平衡条件的表达式：

（1）F_合=0。

（2）F_x合=0且F_y合=0，其中F_x合与F_y合分别是将所受的力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力。

3．共点力的平衡条件得出的三个结论：

（1）二力作用：二力等大，反向，是一对平衡力。

（2）三力作用：任两力的合力与第三个力等大、反向。

（3）n力作用：任一个力与其他所有力的合力等大、反向。

【思考·讨论】

若火车处于平衡状态，火车处于什么运动状态？

【素养训练】

1．物体在斜面上匀速下滑，如图所示的四个受力示意图中正确的是（  ）

2．（2019·全国卷Ⅱ）物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10 m/s²。若轻绳能承受的最大张力为1500 N，则物块的质量最大为（  ）

A．150 kg

B．100 kg

C．200 kg

D．200 kg

二、共点力作用下物体平衡问题的求解方法

【思考·讨论】

在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的质量为m，悬绳与墙壁的夹角为α，网兜质量不计，重力加速度为g，如何求出悬绳对足球的拉力大小？

【规律方法】

求解共点力平衡的一般步骤

（1）选取研究对象。

（2）将研究对象隔离出来，分析物体的受力情况并画受力示意图。

（3）根据物体的受力特点选取适当的方法，一般采用正交分解法。

（4）列方程求解，并检查答案是否完整、合理。

【素养训练】

1．如图所示，轻绳AB的A端连接在墙上，B端连接在轻杆上，轻杆BC的C端用铰链连接在墙上，B端挂一重为G=100 N的物体。已知AB=2.7 m，AC=1.8 m，BC=3.6 m，则轻绳AB和轻杆BC上的力各是（  ）

A．200 N，150 N

B．150 N，200 N

C．150 N，100 N

D．100 N，150 N

2．（多选）如图所示，轻绳AO与竖直方向成一角度，轻绳BO水平。竖直轻绳CO系住一物体使其处于平衡状态，当绳子的悬点A缓慢向右移动时，BO始终保持水平，在AO到达竖直方向前，关于绳子AO和BO的拉力，下列说法中正确的是（  ）

A．绳AO的拉力一直在增大

B．绳BO的拉力一直在减小

C．绳BO的拉力先增大后减小

D．绳AO的拉力一直在减小

【精炼反馈】

一、选择题（本题共6小题，每题4分，共24分）

1．体操运动员在进行自由体操比赛时，有如图所示的比赛动作：运动员两手臂对称支撑，竖直倒立保持静止状态。当运动员两手间距离增大时，每只手臂受的力T及它们的合力F的大小变化情况为 （  ）

A．T增大，F不变

B．T增大，F减小

C．T增大，F增大

D．T减小，F不变

【解析】选A。对运动员受力分析，如图所示。运动员所受T的合力F与运动员重力大小相等方向相反，故夹角增大时合力大小不变；手臂间距增大时，相当于在图中两力T之间的夹角θ增大，因合力F大小不变，故T增大。故选A。

2．一质量为m的物块恰好静止在倾角为θ的斜面上。现对物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示。则物块 （  ）

A．仍处于静止状态

B．沿斜面加速下滑

C．受到的摩擦力不变

D．受到的合外力增大

【解题指南】解答本题应把握以下两点：

（1）对物块不施加力F时物块恰好静止，则物块所受静摩擦力等于滑动摩擦力，可求出摩擦因数。

（2）施加力F后再进行受力分析，判断运动状态。

【解析】选A。无力F时受力情况如图甲，使物块下滑的力，物块受到的最大静摩擦力f_m=μN=μmgcosθ，物块恰好静止则最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，即mgsinθ=μmgcosθ，μ=tanθ，当施加恒力F后，受力情况如图乙，使物块下滑的力为F₂=mgsinθ+Fsinθ，物块所受最大静摩擦力为

f′_m=μ（mgcosθ+Fcosθ）=mgsinθ+Fsinθ，即F₂=f′_m，两者相等，物块仍处于静止状态，A正确，B错误；由于，故C错误；物块始终静止，则受到的合力始终为零，D错误。

3．如图所示，均匀光滑球夹在竖直墙和长木板之间静止，长木板的下端为固定转动轴。将长木板从图所示位置缓慢地转到水平位置的过程中，小球对竖直墙的压力F₁的大小以及小球对长木板的压力F₂的大小的变化情况将是（  ）

A．F₁和F₂都逐渐减小

B．F₁和F₂都逐渐增大

C．F₁逐渐减小，F₂逐渐增大

D．F₁逐渐增大，F₂逐渐减小

【解析】选A。设木板和墙的夹角为α，如图建立坐标系对小球进行受力分析，

由于小球处于平衡状态，满足平衡条件F_合=0，

F₁′为竖直墙对小球的弹力，F₂′为长木板对小球的支持力，根据平衡条件有：

F_合x=F₂′cosα-F₁′=0

F_合y=F₂′sinα-mg=0

由此得：F₁′=mgcotα，F₂′=，

由题意，α增大，则得F₁′减小，F₂′减小；

根据作用力与反作用力可知，小球对竖直墙和长木板的压力与竖直墙和长木板对小球的支持力大小相等，故A正确。

4．轻绳一端系在质量为m的物体A上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN的圆环上。现用水平力F拉住绳子上一点O，使物体A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦力F₁和环对杆的压力F₂的变化情况是（  ）

A．F₁保持不变，F₂逐渐增大

B．F₁逐渐增大，F₂保持不变

C．F₁逐渐减小，F₂保持不变

D．F₁保持不变，F₂逐渐减小

【解析】选D。以圆环、物体A及轻绳整体为研究对象，分析受力情况，作出受力分析图如图1所示。根据平衡条件得，

杆对环的摩擦力F₁′=G，保持不变。

杆对环的弹力F₂′=F。

再以结点O为研究对象，分析受力情况，作出受力分析图如图2所示。

由平衡条件得F=mgtanθ

当物体A从图中实线位置缓慢下降到虚线位置过程中，θ逐渐减小，则F逐渐减小，F₂′逐渐减小。因为F₁=F₁′，F₂=F₂′，所以F₁保持不变，F₂逐渐减小。故选D。

【补偿训练】

如图所示，一光滑斜面固定在地面上，重力为G的物体在一水平推力F的作用下处于静止状态。若斜面的倾角为θ，则（  ）

A．F=Gcosθ

B．F=Gsinθ

C．物体对斜面的压力N=Gcosθ

D．物体对斜面的压力N=

【解析】选D。物体受力如图所示，根据平衡条件，F、N′的合力与重力等大反向，则有F=Gtanθ，N=N′=，则D正确，A、B、C错误。

5．一个质量为3 kg的物体，被放置在倾角为α=30°的固定光滑斜面上，在如图所示的甲、乙、丙三种情况下处于平衡状态的是（g=10 m/s²）（  ）

A．仅甲图

B．仅乙图

C．仅丙图

D．甲、乙、丙图

【解析】选B。本题考查共点力的平衡条件。物体受三个力的作用，重力、支持力、拉力。重力沿斜面向下的分力大小为15 N，故只有乙图能保持平衡。选项B正确。

6．如图所示，A、B两物体的质量分别为m_A、m_B，且，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ变化情况是（  ）

A．物体A的高度升高，θ角不变

B．物体A的高度降低，θ角变小

C．物体A的高度升高，θ角变大

D．物体A的高度不变，θ角变小

【解析】选A。原来整个系统处于静止状态，绳的拉力等于A物体的重力，B物体对滑轮的拉力等于B物体的重力。将绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，绳的拉力F仍等于A物体的重力，B物体对滑轮的拉力仍等于B物体的重力，都没有变化，即滑轮所受的三个拉力都不变，则根据平衡条件得，两绳之间的夹角也没有变化，则θ角不变，滑轮将下降，物体A的高度升高，故A项正确。

二、计算题（本题共2小题，共36分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位）

7．（16分）在动画片《熊出没》中有个镜头，“熊二”用一根轻绳绕过树枝将“光头强”悬挂起来，如图所示。假设不计轻绳与树枝间的摩擦，此时轻绳与水平地面的夹角θ=37°，已知“光头强”体重G₁=600 N，“熊二”体重G₂=1 800 N，取sin37°=0.6，cos37°=0.8。

（1）求此时“熊二”对地面压力的大小N。

（2）求此时“熊二”与地面间静摩擦力的大小f。

（3）现“熊二”要把“光头强”吊挂得更高一些，向右水平移动了一小段距离，则“熊二”对地面压力大小和“熊二”与地面间静摩擦力大小是“变大”还是“变小”？

【解析】（1）以“熊二”为研究对象，受重力、支持力、拉力和静摩擦力处于平衡状态，受力如图。

绳子拉力T=G₁=600 N；

拉力与水平方向的夹角为θ，

根据共点力平衡得，Tsinθ+N′=G₂。

解得：N′=G₂-Tsinθ=1 800 N-600×0．6 N=1 440 N；

根据作用力与反作用力可得“熊二”对地面压力的大小为1 440 N；

（2）水平方向根据共点力的平衡条件可得：f=Tcosθ=600×0.8 N=480 N；

（3）当“熊二”向右水平移动了一小段距离，θ减小，T不变，则静摩擦力增大，支持力增大，根据作用力与反作用力，“熊二”对地面的压力增大，静摩擦力增大。

答案：（1）1 440 N

（2）480 N

（3）均变大

8．（20分）质量为m=19 kg的木箱放在水平地面上，木箱与地面之间的动摩擦因数为0.25。

（1）如图甲所示，对木箱施加一个多大的水平力F₁，可使木箱在地面上匀速运动？

（2）如图乙所示，如果对木箱施加一个与水平方向成37°斜向上的力F₂，则F₂多大时才可使木箱在地面上匀速运动？（g取10 N/kg，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

【解析】（1）要使木箱受到水平力F₁作用时做匀速运动，则F₁=f=μmg

F₁=0.25×19×10 N=47.5 N

（2）将F₂分解为水平方向F_2x=F₂cos37°

竖直方向F_2y=F₂sin37°

据力的平衡条件知：F₂cos37°=f

又f=μN=μ（mg-F_2y）

可得F₂=50 N

答案：（1）47．5 N

（2）50 N

9．（6分）（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙壁，A与竖直墙壁之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则（  ）

A．B对墙的压力增大

B．A与B之间的作用力减小

C．地面对A的摩擦力减小

D．A对地面的压力减小

【解析】选B、C。对圆球B受力分析，作出平行四边形如图所示。A滑动前，B球受墙壁及A的弹力的合力与重力大小相等，方向相反，如图中实线所示；而将A向外平移后，B受弹力的方向将上移，如虚线所示，但B仍受力平衡，由图可知A对B球的弹力及墙壁对球的弹力均减小，故A错误，B正确；以AB为整体分析，水平方向上受墙壁的弹力和地面的摩擦力而处于平衡状态，弹力减小，故摩擦力减小，故C正确；竖直方向上受重力及地面的支持力，两物体的重力不变，故A对地面的压力不变，故D错误；故选B、C。

【总结提升】图解法解决动态平衡问题的技巧

图解法解决动态平衡问题具有直观、简便等优点，使用中要注意以下三点：

（1）本方法适用的基本上都是三力平衡问题，且物体所受三力中，有一个是恒力（即大小方向都不变），还有一个是方向不变仅大小变化的力，另一个则是大小方向都变化的力，否则用图解法不一定简单。

（2）根据平衡条件，图解法可采用将恒力沿另外两个力的反方向分解的方式，也可采用将另外两个力合成的方式，其合力与恒力等大反向。

（3）规范作图，利用平行四边形定则或三角形定则进行讨论。讨论时要特别注意方向变化的那个力，要切实搞清楚其方向变化的范围，在此变化范围内进行讨论。

10．（6分）（多选）如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A移动到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的变化情况是 （  ）

A．N变大

B．N不变

C．T先变小后变大

D．T变小

【解析】选B、D。以小球为研究对象，分析小球受力情况如下：

重力G，细线的拉力T和半球面的支持力N，

作出N、T的合力F，由平衡条件得F=G。

由△NFA∽△AO₁O得：==

解得：N=×G，T=×G

缓慢地将小球从A点拉到B点过程中，O₁O、AO不变，O₁A变小，可见T变小；N不变。故选B、D。

11．（6分）（2019·长沙高一检测）如图所示，某健身爱好者利用如图装置锻炼自己的臂力和腿部力量，在O点悬挂重物C，手拉着轻绳且始终保持绳索平行于粗糙的水平地面。当他缓慢地向右移动时，下列说法正确的有（  ）

A．绳OA拉力大小不变

B．绳OB拉力变大

C．健身者与地面间的摩擦力变小

D．绳OA、OB拉力的合力变大

【解析】选B。设OA、OB绳的拉力分别为F_A和F_B，重物的质量为m。对O点有F_Acosθ-mg=0，F_Asinθ-F_B=0，解得F_A=，F_B=mgtanθ。当健身者缓慢向右移动时，θ变大，则两拉力均变大，选项A错误，B正确；健身者所受的摩擦力与F_B相等，选项C错误；健身者缓慢移动时，两绳拉力的合力大小等于重物C的重力，大小不变，选项D错误。故选B。

12．（22分）如图所示，AC、BC两轻杆通过绞链与墙相接。轻杆AC长30 cm，轻杆BC长40 cm，A、B两点间距离为50 cm。在结点C上挂一个重80 N的物体，求杆AC、BC上受的是压力还是拉力，受力大小分别是多少？

【解析】重物静止时对C点的拉力F=G，且力F产生两个效果：对AC杆的拉力F_AC，对BC杆的压力F_BC。依力的平行四边形定则作出受力示意图，如图所示。

由图可知，力三角形和长度三角形相似，对应边成比例，则==，代入数据求得F_AC=48 N，F_BC=64 N。

答案：AC杆受拉力，大小为48 N

BC杆受压力，大小为64 N

【总结提升】相似三角形法解决平衡问题的技巧

（1）根据力的分解或合成构建出三角形，用相似三角形法解决平衡问题。

（2）当物体受到三个力F₁、F₂和F₃的作用处于平衡状态时，这三个力组成的首尾相连的封闭的力三角形F₁F₂F₃与几何三角形ABC相似，则对应边成比例：==。