天地力的综合：万有引力定律

【学习目标】

1．掌握开普勒三定律的内容并能解释一些现象；

2．掌握万有引力定律的内容、公式及适用条件；

3．掌握引力常量的测定方法及其意义。

【学习重点】

1．万有引力定律；

2．引力常量的测定方法。

【学习难点】

引力常量的测定方法。

【学习过程】

一、行星运动的规律

例题：判断

（1）为了便于研究问题，通常认为行星绕太阳做匀速圆周运动。（√）

（2）太阳系中所有行星的运动速率是不变的。（×）

（3）太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长。（√）

思考：如图所示，所有行星都绕太阳在椭圆轨道上运行，某一行星绕太阳运动的速率在不同位置都一样大吗？

提示：不一样，在行星距离太阳较近时速率大，在行星距离太阳较远时速率小。

【合作探讨】

如图所示为地球绕太阳运动的示意图，A、B、C、D分别表示春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置。

探讨（1）太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？

提示：太阳不在轨道平面中心，夏至、冬至地球到太阳的距离不同。

探讨（2）一年之内秋冬两季比春夏两季为什么要少几天？

根据地球的公转周期计算火星的公转周期还需要知道什么数据？

提示：根据开普勒第二定律，地球在秋冬两季比在春夏两季离太阳距离近，线速度大，所以秋冬两季比春夏两季要少几天。根据r³/T²＝k，要计算火星的公转周期还要知道火星轨道半径与地球轨道半径的比值。

【核心点击】

（1）从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律。

（2）对速度大小的认识

①如图所示，如果时间间隔相等，即t₂－t₁＝t₄－t₃，由开普勒第二定律，面积S_A＝S_B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。因此开普勒第二定律又叫面积定律。

②近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。

（3）对周期长短的认识

①行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。

②该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如，绕某一行星运动的不同卫星。

③研究行星时，常数k与行星无关，只与太阳有关。研究其他天体时，常数k只与其中心天体有关。

【练习1】关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是（    ）

A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆

B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆

C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同

D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比

【解析】由开普勒第一定律知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知，所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。

【答案】A

【练习2】某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F₁和F₂是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于（    ）

A．F₂ B．A C．F₁ D．B

【解析】根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳在离A点近的焦点上，故太阳位于F₂。

【答案】A

【练习3】某人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道半径的1/3，则此卫星运行周期大约是（    ）

A．3～5天 B．5～7天 C．7～9天 D．大于9天

【解析】月球绕地球运行的周期约为27天，根据开普勒第三定律r³/T²＝k，得r³/T²＝，则T＝×27×（天）≈5.2（天）。

【答案】B

应用开普勒定律注意的问题

1．适用对象：开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时r³/T²＝k，比值k是由中心天体所决定的另一恒量，与环绕天体无关。

2．定律的性质：开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结出来的规律。它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。

3．对速度的认识：当行星在近日点时，速度最大。由近日点向远日点运动的过程中，速度逐渐减小，在远日点时速度最小。

二、万有引力定律

1．内容

自然界中任何两个物体都是相互_________的，引力的方向沿_________________，引力的大小F与这两个物体质量_______________________成正比，与这两个物体间____________________。

2．表达式：__________________

（1）r是两质点间的距离（若为匀质球体，则是两球心的距离）。

（2）G为万有引力常量，G＝6.67×10^－11m³/（kg·s²）。

例题：判断

（1）一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略。（×）

（2）任何两物体间都存在万有引力。（√）

（3）地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球引力是两种不同性质的力。（×）

【思考】

如图所示，同一个物体在地球表面的不同位置时，所受的万有引力大小相同吗？

提示：由于地球不是一个标准的球体，物体处于地面的不同位置时，物体到地心的距离不同，所以万有引力的大小可能不同。

【合作探讨】

如图所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的。请思考：

探讨（1）任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r”指物体哪两部分间的距离？

提示：任意两物体之间都存在万有引力，r指两物体重心之间的距离。

探讨（2）地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？

提示：相等。符合牛顿第三定律。

【核心点击】

（1）万有引力定律公式的适用条件：严格地说，万有引力定律公式只适用于计算两个质点间的相互作用，但对于下述两类情况，也可用该公式计算：

①两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用该公式计算，其中r是两个球体球心间的距离。

②一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，其中r为球心到质点间的距离。

（2）万有引力的“四性”

①普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。

②相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，总是满足大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。

③宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。

④特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的运动性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。

【练习4】要使两物体间的万有引力减小到原来的1/4，下列办法不可采用的是（    ）

A．使物体的质量各减小一半，距离不变

B．使其中一个物体的质量减小到原来的1/4，距离不变

C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变

D．使两物体间的距离和质量都减为原来的1/4

【解析】根据可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的1/4，当距离和质量都减为原来的1/4时，万有引力不变，选项D错误。

【答案】D

【练习5】某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为（    ）

A．GMm/R² B．GMm/(R＋h)²

C．GMm/h² D．GMm/(R²＋h²)

【解析】万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h。

【答案】B

【练习6】已知太阳的质量M＝2.0×10³⁰kg，地球的质量m＝6.0×10²⁴kg，太阳与地球相距r＝1.5×10¹¹m，（比例系数G＝6.67×10^－11N·m²/kg²）求：

（1）太阳对地球的引力大小；

（2）地球对太阳的引力大小。

【解析】（1）太阳与地球之间的引力跟太阳的质量成正比、跟地球的质量成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比，则

＝3.56×10²²N。

（2）地球对太阳的引力与太阳对地球的引力是作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知F′＝F＝3.56×10²²N。

【答案】（1）3.56×10²²N

（2）3.56×10²²N

万有引力定律的应用方法

1．首先分析能否满足用公式求解万有引力的条件。

2．明确公式中各物理量的大小。

3．利用万有引力公式求解引力的大小及方向。

三、引力常量的测定

1．在1798年，即牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量。G＝____________________________。

2．意义：使用万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。

3．知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。

例题：判断

（1）引力常量是牛顿首先测出的。（×）

（2）卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。（√）

（3）卡文迪许第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值。（√）

【练习7】对于引力常量G的理解，下列说法中错误的是（    ）

A．G是一个比值，在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时的引力大小

B．G的数值是为了方便而人为规定的

C．G的测定使万有引力定律公式更具有实际意义

D．G的测定从某种意义上也能够说明万有引力定律公式的正确性

【解析】根据万有引力定律公式可知，，当r＝1m，m₁＝m₂＝1kg时，G＝F，故A正确；G是一个有单位的物理量，单位是m³/(kg•s²)。G的数值不是人为规定的，而是在牛顿发现万有引力定律一百多年后，由卡文迪许利用扭秤实验测出的，故B错误，C、D正确。

【答案】B

【巩固练习】

1．引力恒量G的单位是（    ）

A．N B． C． D．没有单位

2．某个行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半，那么一个物体在此行星表面上的重力是它在地球表面上重力的（    ）

A．1/4 B．1/2 C．4倍 D．2倍

3．已知地面的重力加速度为g，距地面高为地球半径处的重力加速度是（    ）

A．g/2 B．2g/2 C．g/4 D．2g

4．两个物体之间的万有引力大小为F₁，若两物之间的距离减小x，两物体仍可视为质点，此时两个物体之间的万有引力为F₂，根据上述条件可以计算（    ）

A．两物体的质量

B．万有引力常量

C．两物体之间的距离

D．条件不足，无法计算上述中的任一个物理量

参考答案：

1．B

2．D

3．C

4．C