主讲：熊涛

一周强化

一、一周知识强化

　　本章要求我们掌握功的定义，计算方法，，清楚功是能量变化的量度，理解功的实际意义，掌握在题目中见到到有关功的判断，计算等问题。

二、重难点知识讲解

（一）功的计算式

1、文字表述：力F对物体所做的功等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这三者的乘积。即W＝Fscosα，s是受力物体的位移；α是力的方向和位移方向的夹角。

　　注意：做功两个必不可缺少的因素：力和在力的方向上的位移。功是过程量，求功时一定要明确求的是哪一个力的功。

2、对“功”的理解

　　（1）功是过程量：功是表示力对空间的积累作用的物理量，说到功，必须明确是哪个力对哪个物体、在哪一个过程中做的功。

　　（2）功是标量：功的正、负含义不表示方向，也不表示大小。功的正、负表示动力对物体做功还是阻力对物体做功，或者说功的正、负表示是力对物体做了功还是物体克服这个力做了功。

　　功的正、负还可以表示能量转化的方向，如：重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，合外力做正功，物体动能增加，合外力做负功，物体动能减少。

　　（3）功是相对量：由于位移大小S与参考系选择有关，因而功的大小也与参考系选择有关，通常选地面为参考系，S是相对于地面的位移。

　　（4）功的大小只取决于力和力的方向上的位移，与其他因素无关。

3、功的计算方法

　　（1）一个恒力F对物体做功，有两种处理方法：一种是W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移scosα，W＝F(scosα)；另一种是W等于力F在位移S方向上的分力Fcosα乘以物体的位移S，W＝(Fcosα)s。

　　（2）多个力做的总功

　　一是先用平行四边形定则求出合外力，再根据W＝计算功。α是合外力与位移S间的夹角。

　　二是先分别求各个外力的功：＝，……再求各个外力的功的代数和。

　　（3）变力做的功

　　①W＝Fscosα只适合计算恒力的功。求变力的功可以通过将变力转化为恒力，再用W＝Fscosα计算。

　　②求变力功

　　W＝FScosα仅适应于恒力做功情况，而对于变力做功来说，力F的大小随时间不断变化，力和位移的夹角也不断变化，就不能用上式计算功。在这种情况下，我们往往采取微分思想，把整个运动分成很多小段，每小段都足够小，可认为是直线；物体通过每小段的时间足够短，在这样短的时间内，力的变化很小，可以认为是恒定的。这样，对每小段来说，就可以用公式W=FScosα计算功，把物体通过每一小段所做的功加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功，其功等于力和路程(不是位移)的积。

　　③根据功能关系求变力的功。如根据势能的变化求对应的力做的功，根据动能定理求变力做的功，等等。

　　④根据功率恒定求变力的功，即W＝Pt。

4、正功、负功

(1)当0°≤α＜90°时，cosα为正值， W为正值，称为力对物体做正功，或称为力对物体做功。

　　当α＝90°时，cosα＝0，W＝0，力对物体做零功，即力对物体不做功。

　　当90°＜α≤180°时，cosα为负值， W为负值，称为力对物体做负功，或说物体克服这个力做功。

（2）功是描述力在空间位移上累积作用的物理量。功是能量转化的量度，功是标量。

（3）正功的意义是：力对物体做功向物体提供能量，即受力物体获得了能量。

　　负功的意义是：物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，即负功表示物体失去了能量。

二、例题

（一）恒力做功

例1、关于做功，下列说法正确的是（ ）

A. 静摩擦力总是不做功

B. 滑动摩擦力总是做负功

C. 力对物体不做功，物体一定静止

D. 物体在运动过程中，若受力的方向总是垂直于速度的方向，则此力不做功

解析：

　　静摩擦力可以做正功也可以做负功，也可以不做功。如果一物体随传送带向前做匀加速运动，那么此时摩擦力就对物体做正功；随传送带匀速运动则静摩擦力就对该物体不做功；如果一个物体静止在斜面上，那么这个物体所受的静摩擦力就对物体不做功。故A选项是不正确的。同理，如果一个物体在皮带上向前加速运动，但速度小于皮带的速度，则物体相对皮带向后滑动，此时物体所受摩擦力为滑动摩擦力，而摩擦力的方向与物体运动方向一致，此时滑动摩擦力却对物体做正功。故B选项不正确。匀速运动的物体外力对物体不做功，但物体是运动的，所以C选项不正确。

答案：D

说明：

　　（1）无论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都可以做正功，或者做负功，或者不做功，也就是说，在做功方面，摩擦力和其他一切力一样没有什么不同的地方。

　　（2）从做功公式上来理解，无论是静摩擦力还是滑动摩擦力都可以和位移成任意角，也就是说可以做正功，也可以做负功或不做功。

例2、如图所示，一人通过滑轮沿与水平方向成θ角施一恒力F作用在绳的一端，使木块水平向右移动s的距离。在此过程中，恒力F做的功为

A．Fscosθ　　　　　　　　　　　　B．Fs (1+cosθ)

C．2Fs　　　　　　　　　　　　　　D．2Fscosθ

解析：

　　方法一：注意恒力功公式中F与s的同一性，s应是F的作用点发生的位移，作用点的位移如图中的BB′，因 △BB′C为等腰三角形，有BB′＝2scos，所以力F做功为：W＝F·BB′·cos＝2Fscos2＝Fs(1+cosθ)，所以选B。

　　方法二：由功能转化关系知：人做功就是人通过绳子对木块做功，消耗的都是人的体能，根据功的标量性，人做的功等效为两段绳子对木块做的功，因而有：

　　W＝Fs＋Fscosθ。

　　方法三：人做的功就是滑轮与木块间的细杆对木块做的功，

　　细杆对木块的水平分力为F(1＋cosθ)，

　　其对木块做功为W＝Fs(1＋cosθ)。

归纳：

　　本题画好木块运动状态图，得出力F作用点的位移情况是关键，从而认识到F作用点的位移并不是2s，而是2s·cos，因此力学问题中受力分析、运动分析的习惯很重要.

　　做功过程中的位移指受力物体的位移，在有些情况下力的作用点的位移和物体的位移不相同，计算力所做的功，应该将作用力乘这个力的作用点的位移．这样计算作用力做的功常见于利用滑轮牵引物体。如图，人站在地上以恒力F拉绳，使小车向左运动在此过程中，人对小车所做的功

　　式中s为拉力F的作用点的位移，而不是小车的位移．对小车来说绳的拉力虽然大小不变，但方向时刻改变，属变力做功问题，很难计算．这种计算功的方法，对动滑轮、定滑轮问题均适用。

　　对通过动滑轮施力的问题，还可用等效替代法计算功的大小．如图a所示，绳一端固定在墙上，另一端通过滑轮施一恒力F，方向与水平成θ角．在F作用下，物块向右位移s，在此过程中恒力F做功使物体运动，其效果与图b所示两个力F同时作用在物块上所产生的效果相同．由此可以认为a图中力F对物体所做的功。

例3、如图，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ）

A．垂直于接触面，做功为零　　　　　　B．垂直于接触面，做功不为零

C．不垂直于接触面，做功为零　　　　　D．不垂直于接触面，做功不为零

错解：

　　斜面对小物块的作用力是支持力，应与斜面垂直，因为支持力总与接触面垂直，所以支持力不做功。故A选项正确。

错解原因：

　　斜面固定时，物体沿斜面下滑时，支持力做功为零。受此题影响，有些人不加思索选A。这反映出对力做功的本质不太理解，没有从求功的根本方法来思考，是形成错解的原因。

分析解答：

　　根据功的定义W=F·scosθ为了求斜面对小物块的支持力所做的功，应找到小物块的位移。由于地面光滑，物块与斜面体构成的系统在水平方向不受外力，在水平方向系统动量守恒。初状态系统水平方向动量为零，当物块有水平向左的动量时，斜面体必有水平向右的动量。由于m＜M，则斜面体水平位移小于物块水平位移。根据图3－2上关系可以确定支持力与物块位移夹角大于90°，则斜面对物块做负功。应选B。

评析：

　　求解功的问题一般来说有两条思路。一是可以从定义出发。二是可以用功能关系。如本题物块从斜面上滑下来时，减少的重力势能转化为物块的动能和斜面的动能，物块的机械能减少了，说明有外力对它做功。所以支持力做功。

例4、如图1所示，在倾角为θ的斜面上有一质量为m的物体，一直与斜面保持相对静止。

　　（1）若物体随斜面水平匀速移动了位移s，则斜面对物体做了多少功？

　　（2）若物体随斜面以加速度a移动了位移s，则斜面对物体做了多少功？

分析与解答：

　　斜面对物体所做的功，即斜面对物体的作用力所做的功．在题述的两种情况下，斜面对物体的作用力分别如图2中的甲、乙所示，因为物体的位移方向是水平的，故在两种情况中重力mg均不做功．

　　（1）因为当物体匀速运动时，其所受合力为0，所以由图甲可知物体所受斜面的支持力N＝mgcosθ，摩擦力f＝mgsinθ，方向如图所示．所以

　　WN＝Nscosθ＝mgcosθ·s·cos（90°－θ）

　　　＝mgscosθsinθ。

　　Wf＝fscosα＝mgsinθ·s·cos（180°－θ）

　　　＝－mgscosθsinθ。

　　故斜面对物体所做的功为W总＝WN＋Wf＝0。

　　（2）当物体以加速度a移动时，因a沿水平向右，所以合力F＝ma、方向必水平向右，其受力情况如图乙所示。由图可知：Nsinθ－fcosθ＝ma，　　Ncosθ＋fsinθ＝mg．

　　由此两方程可解得：N＝mgcosθ＋masinθ，　f＝mgsinθ－macosθ，

　　再由W＝Fscosθ分别求得两力的功：

WN＝Nscosα＝Nscos（90°－θ）＝mgscosθsinθ＋mas sin2θ。

Wf＝fscosα＝fscos（180°－θ）＝－mgscosθsinθ＋macos2θ。

所以W总＝WN＋Wf＝mas。

说明：

　　本题的上述解法并非是最简捷的方法，因为在物体运动的整个过程中，各个力都一直作用在物体上，因此斜面对物体所做的功，也就等于合力对物体所做的功，故本题也可就（1）、（2）两种情况分析先求出合力，再用合力求出斜面对物体所做的功．另外，由于重力一直不做功，所以支持力和摩擦力对物体所做的功（即斜面对物体所做的功）就是合外力所做的功．还可据动能定理通过物体动能的变化求出斜面对物体所做的功．这两种方法都比例题中给出的方法要简单得多，其中后一种思路最为简捷，读者可自己按上述思路进行求解．

（二）关于变力做功的计算方法

1、平均法

　　如果力的方向不改变，且与位移的方向一致，而其大小与位移的数值成线性变化关系时，可以认为物体在这一过程中所受到的力是一个与平均力等值的恒力，然后用变力的平均值与力的作用的位移大小乘积来计算功．

例5、用力拉一个劲度系数为k的弹簧，当它的伸长为x时，求拉力所做的功．

解析：

　　根据胡克定律F＝kx，可知拉力F是一个变力，随x的增大而增大，F与x是线性变化的关系，其平均值：

　　

　　

　　平均法用途广泛，如手执均匀链条的一端，将其竖直提起；用竖直向下的力把长方体均匀木块按入水中；把盛有水的漏水桶从井中提出等问题中均可按上述方法求功．

2、微元法

　　物体沿圆弧作曲线运动，力与物体运动（切线）方向的夹角不变，力的方向与位移方向同步变化．作用力所做的功不仅与物体的始末位置有关，还与路径有关，不能简单套用功的定义式，可将圆周分成很多小等段，使每一段趋近于一条直线段，先求力在这一小段上的“元功”，然后求和．

例6、如图所示，一个以大小不变的力F拉着质量为m的木箱在圆弧桥上行走，已知圆弧的半径为R，AB弧所对的圆心角为θ弧度，绳子与桥面切线始终成α角．求从A到B人拉木箱所做的功．

解析：

　　在任意短的时间内一小段圆弧△S与弦重合，可视为一段位移，力F所做的“元功”为△W＝ F△Scosα．

　　总功W＝∑△W ＝∑F△Scosα＝FRθcosα

　　物体沿水平圆形轨道运动时，求沿切线方向的作用力所做的功，亦应按上述方法思考，就其整体而言，S应理解为路程，而非位移．

- 返回 -