主讲：熊涛

一周强化

一、一周知识强化

　　本周我们学习高考当中的重点知识：机械能守恒定律，这部分内容在高考当中应用广泛，难度较大，所以应该认真学习，强化训练。

二、重难点知识讲解

机械能

（一）动能：物体由于运动而具有的能量叫做动能。单位：焦耳

　　注意：动能是标量，没有方向。所以动能只与物体运动的速度大小——速率有关，而与物体的运动方向无关。

　　物体的动能，一般情况下都是以地面为参照物的。

　　物体的动能最小为零，无负值。

（二）势能：由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能量。如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等，其特点是相互作用力做功与路径无关。在机械能中，势能有重力势能和弹性势能。

1、重力势能：物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能．

　　用公式表示：

　　注意：

　　（1）重力势能是标量，是状态量，没有方向，但有正负。重力势能为正表示物体的势能大于它的零势能面的势能，在参考平面上方，正的重力势能数值越大表示物体的重力势能越大；重力势能为负表示物体的势能小于它在零势能面的势能，在参考平面下方，负的重力势能数值越大表示物体的重力势能越小。

　　（2）重力势能的大小是和零势能面的选取有关的，由于零势能面的选取是任意的，所以物体的重力势能也是相对的，故物体重力势能的绝对量是没有意义的，只有物体势能的变化量才是有意义的。

　　（3）由于重力势能是因为地球与物体之间具有相互吸引力而产生的，又与物体与地球的相对位置有关，所以重力势能是物体与地球所构成的系统所具有的。通常情况下我们所说的物体的重力势能，实际是物体与地球所构成系统的引力势能的一种简称。

2、弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能。

　　（1）物体的弹性势能的大小与物体的材料、发生弹性形变的大小等有关。

　　　　弹簧的弹性势能的大小为：为形变量（高考不要求）

　　（2）弹性势能与弹力做功的关系，与重力势能与重力做功的关系相类似：弹力做正功，物体的弹性势能就减少；弹力做负功，或者叫外力克服弹力做功，物体的弹性势能就增加。

机械能守恒定律

1、机械能守恒定律的两种表述

　　（1）在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

　　（2）如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

2、对机械能守恒定律的理解：

　　①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

　　②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

　　③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。

3、机械能守恒定律的各种表达形式

　　⑴，即；

　　⑵；；

　　用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。

　　用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

4、解题步骤

　　⑴确定研究对象和研究过程。

　　⑵判断机械能是否守恒。

　　⑶选定一种表达式，列式求解。

5、机械能守恒定律条件的判断：机械能的转化和守恒是指系统而言．动能与重力势能的转化是指物体与地球组成的系统机械能守恒；动能与弹性势能的转化是指物体与弹簧组成的系统机械能守恒．通常说某物体的机械能守恒是一种简化的不严格的说法．

　　①对单个物体而言，若只有重力（或系统内弹簧的弹力）做功其它力不做功或其它力做功代数和为零，则该物体机械能守恒定律．

　　②对两个物理以上的系统而言，物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化，则该系统机械能守恒定律．

　　③还有一种情况是单个物体机械能不守恒，而系统机械能守恒，这时要注意的是正确选取满足机械能守恒定律的系统为研究对象，并搞清楚系统内各部分动能和势能的变化情况，列始、末位置的机械能的代数和相等的方程求解．

6、机械能守恒定律的应用特点：应用机械能守恒定律时，只需着重于分析始末两状态的总机械能的大小，而不需考虑中间过程的细节变化

三、功能关系

1、做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。

　　能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。

　　需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

　　本章突出“功是能量转化的量度”这一基本概念。

　　（1）物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外＝ΔEk，这就是动能定理。

　　（2）物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG＝－ΔEP，这就是势能定理。

　　（3）物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其＝ΔE机，（W其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。

　　（4）当W其＝0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。

　　（5）一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f·d＝Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。

2、重力做功与重力势能的关系和动能定理的区别：重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少，重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少，即WG＝－△Ep(Ep表示动能的增加)，而动能定理则是合外力对物体做多少正功，物体的动能就增加多少，合外力对物体做多少负功，物体的动能就减少多少，即W合＝△Ek(△Ek表示动能的增加)

四、典型例题

例1、在下面列举的各个实例中(除a外都不计空气阻力)，哪些情况机械能是守恒的?说明理由．

a．跳伞员带着张开的降落伞在空气中匀速下落

b．抛出的手榴弹或标枪在空中运动

c．拉着一个物体沿光滑斜面匀速上升(见图8－49)

d．在光滑水平面上滚动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来(见图8－50)

e．用细绳拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动

f．用细绳拴着一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动

解析：

　　a.不守恒，除重力做功外，还有空气阻力做功(负功)。本题除了用机械能守恒定律的条件判断外，也可用机械能守恒的定义判断。降落伞匀速下降，动能不变，但重力势能在减小，因而机械能不守恒。

　　b．守恒，只有重力做功。

　　c．不守恒，除重力做功外，还有绳的拉力做功，本题也可用机械能守恒的定义判断。

　　d．守恒，只有弹簧的弹力对小球做功。

　　e．守恒，小球受到的重力、支持力和绳的拉力都不做功．事实上小球的动能和势能均不变，所以机械能守恒。

　　f．守恒，除重力做功外，绳的拉力始终与位移垂直，不做功。

例2、如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面为参考平面，则小球落到地面前瞬间的机械能为

A．0　　　　　　　　　　　　　　　　　B．mgh

C．mgH　　　　　　　　　　　　　　　　D．mg(H＋h)

解析：

　　小球在下落过程中只受重力作用，机械能守恒。取桌面为参考平面，小球刚下落时的机械能为mgH，那么小球落至任一位置的机械能都是mgH。

答案：C

注意：这里不能死记硬背重力势能公式,否则会错选B或D。

例3、如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？

解析：

　　以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。

注意：

　　由于这里说的是光滑斜面，所以容易错认为物块本身机械能就守恒。

　　这里要注意：

　　（1）由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。

　　（2）由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。

例4、如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）

解析：

　　由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。

　　不妨设水柱总质量为8m，则，得。

　　本题在应用机械能守恒定律时仍然是用ΔE增＝ΔE减建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。

　　需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

例5、如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是（ ）

A．在B位置小球动能最大

B．在C位置小球动能最大

C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加

解析：

　　小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。

　　从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。

　　A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。选B、C、D。

例6、如图所示，某人以4m/s的速度斜向上（与水平方向成25°）抛出一个小球，小球落地时速度为8m/s，不计空气阻力，求小球抛出时的高度h

解析：

　　以小球为研究对象，以抛出时和落地时为初、末状态，大小分别为。小球运动过程中，只有重力做功，故小球的机械能守恒。

　　应用第一种表达式取地面为零势能面。

　　初状态，末状态。

　　由机械能守恒定律得

　　代入数据可得

　　应用第二种表达式，不用选取零势能面。

　　小球减少的重力势能，小球增加的动能

　　由机械能守恒定律得

　　代入数据得

小结：

　　机械能守恒定律不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动。应用机械能守恒定律时，不用考虑速度的方向。

例7、如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相平，当略有扰动时铁链一端下落，则铁链脱离滑轮的瞬间，其速度为多大？

图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2

解析：

　　应用第一种表达式，取初态时铁链重心（即两段铁链中点）所在平面为零势能面。

　　

　　由机械能守恒定律知

　　

　　应用第二种表达式，铁链重心下降，减少的重力势能，而铁链增加的动能

　　由机械能守恒定律得

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