主讲：李超

一周强化

一、一周知识概述

1、知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动.会求变速圆周运动中物体在特殊点（该处物体所受合外力全部提供向分力，无切向分力）的向心力和向心加速度.

2、知道什么是离心现象，知道物体做离心运动的条件.

3、能结合课本所分析的实际问题，知道离心运动的应用和防止

二、重点知识讲解

1. 向心力

　　(1)定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力.

　　(2)向心力的特点：方向时刻在变化，总是与线速度的方向垂直.在匀速圆周运动中，向心力大小不变.向心力是变力，是一个按效果命名的力.

　　(3)向心力的大小：由实验验证知，向心力的大小与物体的质量有关，与物体转动的角速度和半径有关.精确的实验证明，做匀速圆周运动的物体所受的向心力与物体质量成正比、与半径成正比、与角速度的平方成正比.向心力公式是：

　　F=mω2r=m=m(2πf)2r=.

　　(4)向心力是产生向心加速度的原因，向心力的方向时刻在变化，向心加速度的方向也随之变化，所以说匀速圆周运动是变加速运动.

2. 对向心力公式的理解

　　向心力公式F向=，其意义是：质量为m的物体在半径为r的圆周上以速率v做匀速圆周运动所需要的合外力(向心力)大小是.同样的道理，F向=mω2r，其意义是：质量为m的物体在半径为r的圆周上以角速度ω做匀速圆周运动需要的合外力是mω2r.

　　如果物体所受的合力大小不满足或mω2r等，方向不总是垂直于线速度的方向，物体就会偏离圆轨道做一般的曲线运动.

3. 对于向心力的来源

　　向心力是做圆周运动的物体受到的沿着半径指向圆心的力，它可以由某一个力单独承担，也可以是几个力的合力，还可以是物体受到的合外力在沿半径指向圆心方向上的分量.例如随盘一起转动的物体受到的向心力就是物体受到的盘给予的静摩擦力.卫星绕地心做匀速圆周运动的向心力，就是地球对卫星的万有引力(暂且理解为物体受到的重力).小球在细线的约束下，在竖直面内做圆周运动，某时刻小球受到的向心力等于线的拉力与重力在半径方向的分量的合力，即F向=F·mgcosα，如图6-7-11中(a)、(b)、(c)所示.

图6-7-11

4. 解与匀速圆周运动有关的问题的方法和步骤

　　(1)要从物体做曲线运动的条件入手，理解匀速圆周运动.如匀速圆周运动是曲线运动，物体所受合力与速度方向一定不共线，合外力没有切线方向上的分量，一定与速度方向垂直.

　　(2)物理量之间的关系可以通过实验方法建立，控制变量法可以简化关系的建立.例如：控制做匀速圆周运动的物体的角速度和半径，研究物体所受向心力与物体质量之间的关系等.

　　(3)解决匀速圆周运动的方法，就是解决动力学问题的一般方法，其解决问题的步骤也是解决动力学问题的步骤，但要注意灵活运用匀速圆周运动的一些运动学规律，同时在解题的过程中要弄清匀速圆周运动问题的轨道平面、圆心和半径等.

5、铁路的弯道

　　（1）火车车轮的结构特点：

　　火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹.（如图6－8－1所示）

图6－8－1　　　　　图6－8－2

　　（2）如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，见图6－8－2.但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损.

　　（3）如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力.这就减轻了轮缘与外轨的挤压.在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供（图6－8－3）.

图6－8－3

　　设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v0.由图6－8－3所示力的合成得向心力为

　　F合=mgtan≈mgsin=mg

　　由牛顿第二定律得：F合=m

　　所以mg=m

　　即火车转弯的规定速度v0=.

　　（4）对火车转弯时速度与向心力的讨论：

　　a.当火车以规定速度v0转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力.

　　b.当火车转弯速度v>v0时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力.

　　c.当火车转弯速度v<v0时，该合力F大于向心力，内轨向外侧挤压轮缘，产生的侧压力与该合力F共同充当向心力.

6、拱形桥

　　（1）汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力.

汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力FN提供向心力.

　　G－FN=m

　　所以FN=G－

　　由上面表达式FN=G－可以看出，v越大，FN越小.当FN=0时，由G=m可得v=.若速度大于时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面.我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因.

　　（2）汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力.如图6－8－5，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力.则有：FN－G=m，所以FN=G＋m

图6－8－5

　　由牛顿第三定律知，车对桥的压力FN′=G＋m，大于车的重力.而且还可以看出，v越大，车对桥的压力越大.

　　引申：汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，如图6－8－6所示.它的运动能用上面的方法求解吗？

图6－8－6

　　可以用上面的方法求解，但要注意向心力的来源发生了变化.如图6－8－6，重力沿半径方向的分力和垂直桥面的支持力共同提供向心力.设此时汽车与圆心的连线和竖直方向的夹角为θ，则有

mgcosθ－FN=m

所以FN=mgcosθ－m

桥面支持力与夹角θ、车速v都有关.

7、航天器中的失重现象

　　飞船环绕地球做匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg.除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力FN.引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F=，即

mg－FN=也就是FN=m（g－）

由此可以解出，当v=时，座舱对航天员的支持力FN=0，航天员处于失重状态.

8、离心运动

　　（1）定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动.

　　（2）本质：离心现象是物体惯性的表现.

　　（3）如图6－8－8所示：

图6－8－8

　　a.向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果它们受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动.此时，F=mrω2.

　　b.如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向）按此时的速度大小飞出.这时F=0.

　　c.如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动.其轨迹为圆周和切线间的某条曲线，如图所示.这时，F<mrω2.

　　(4)离心运动的应用和危害

　　a.利用离心运动制成离心机械.例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等.

　　b.在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的.如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成交通事故.如图6－8－9所示.因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力.

图6－8－9

三、典型例题分析

例1　如图6-7-1所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动.则下列说法正确的是

图6-7-1

A.球A的线速度必定大于球B的线速度

B.球A的角速度必定小于球B的角速度

C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期

D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力

解析：

　　两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它的弹力FN的作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心，如图6-7-2所示.由图可知，筒壁对球的弹力FN=，对于A、B两球因质量相等，θ角也相等，所以A、B两球受到筒壁的弹力大小相等，由牛顿第三定律知，A、B两球对筒壁的压力大小相等，D选项不正确.

图6-7-2

　　对球运用牛顿第二定律得mgcotθ=m=mω2r=m，球的线速度v=，角速度ω=，周期T=2π.

　　由此可见，球的线速度随轨道半径的增大而增大，所以A球的线速度必定大于B球的线速度，A选项正确.球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期大于B球的周期，A球的运动频率小于B球的运动频率，B选项正确，C选项不正确.

点评：

　　(1)A、B两球的向心加速度、线速度、角速度、周期、频率等物理量与球的质量无关，在相同的g、θ的情况下仅由轨道半径决定.

　　(2)由解题过程可见，圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.解题的思路就是，以加速度为纽带，运用牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论.学习者应该把已经掌握的解决动力学问题的方法迁移到解决圆周运动的问题中.

答案：AB

例2　长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点.让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图6-7-3所示.当摆线L与竖直方向的夹角是α时，求：

(1)线的拉力F;

(2)小球运动的线速度的大小;

(3)小球运动的角速度及周期.

图6-7-3　　　　　　　　　　　　　　图6-7-4

解析：

　　做匀速圆周运动的小球受力如图6-7-4所示，小球受重力mg和绳子的拉力F.

　　因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是水平方向.

　　由平行四边形法则得小球受到的合力大小为mgtan线对小球的拉力大小为：F=mg/cos

　　由牛顿第二定律得：mgtan =

　　由几何关系得r=Lsin

　　所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为v=

　　小球运动的角速度ω===

　　小球运动的周期T==2π.

点评：

　　在解决匀速圆周运动的过程中，弄清物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径是一个关键环节.同时不可忽视对解题结果进行动态分析，明确各变量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素.

答案：

　　(1)F=mg/cos

　　(2)v=

　　(3)ω=　　　T=2π

例3　用长L=0.6 m的绳系着装有m=0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”.求：

　　（1）最高点水不流出的最小速度为多少？

　　（2）若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？

解析：

　　（1）以水为研究对象mg=m　　①

　　由式①解得v0==m/s=m/s≈2.42 m/s

　　答案：2.42 m/s

　　（2）v=3 m/s>v0，水不会流出，设桶底对水的压力为FN，

　　则由牛顿第二定律有mg＋FN=m　　　②

　　由式②解得FN=m－mg=0.5×（－9.8）N=2.6N

　　根据牛顿第三定律，FN′=－FN

　　所以水对桶底的压力FN′=2.6N，方向竖直向上.

　　答案：2.6N

例4、如图，长为L的轻杆，两端各连接一个质量都是m的小球，使它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀速圆周运动，周期为。求它们通过竖直位置时杆分别对上下两球的作用力。

解析：

　　由转动周期可求出小球转动角速度

　　设上端小球受到杆的拉力，则方向与重力相同

　　

　　负号说明与所设方向相反，即上端小球受到杆的支持力，方向向上。

　　设下端小球受到杆的拉力，方向向上。

　　

　　正号说明与所设方向相同。

例5、“东风”汽车公司在湖北某地有一试车场，其中有一检测汽车在极限状态下车速的试车道，呈碗状，如图，设某小汽车在A车道上飞驰，该车逆转弯半径为R=150m，路面倾角θ=45°，路面与车胎间摩擦因数μ=0.25，求该车最大车速度不得超过多少？

解析：

　　隔离车：分析受力情况：由于最大车速时，车受摩擦力方向沿路面斜向下。