主讲：李超

一周强化

一、本周内容概述

　　在上周学习了有关圆周运动的知识的基础上，这一周我们学习万有引力与航天这一章。本章主要讲述行星的运动、万有引力定律的发现及其在天体运动中的应用，其中万有引力定律的发现、发展过程和该定律的具体运用是本章的重点。

二、重难点知识归纳与讲解

（一）开普勒三大定律

　　（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

　　（2）开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

　　（3）开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

（二）万有引力定律

　　（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

　　（2）公式：

　　式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N。G为引力常量，标准值为G=6.67259×10－11N·m2/kg2。通常取G=6.67×10－11N·m2/kg2.

　　（3）适用条件：只适用于质点间的相互作用，但当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，公式也近似成立。

　　质量分布均匀的球体也可用此公式计算两者间的引力大小，其中r指球心间的距离。

　　注意：

　　①两个物体间的相互吸引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反，遵守牛顿第三定律。

　　②在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力，可知，这是一个常用的变换，式中g是地球表面的重力加速度。

　　③离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系为：，式中R是地球的半径，h是物体离地面的高度。

例1、两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F0，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（　）

A．2F　　　　　　B．4F　　　　　　C．8F　　　　　　D．16F

解析：

　　小铁球之间的万有引力

　　大球半径是小铁球的2倍，其质量分别为：

　　

　　则D成立。

例2、如图所示，半径为R的铅球球心为O，在与球面相切处挖去半径为的一个小球，球心在O1，余下月牙形质量为M，在OO1连线外放有一个质量为m的小球，球心为O2，OO2距离为d，试求M，m间的万有引力。

解析：

　　万有引力定律是宇宙间一条普遍规律，它适用于一切物体间的相互作用。而在公式 中，说明引力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。r不能理解成两物体重心（或质心）间距离，公式是对质点而言的，不能随意应用于一般物体。只有当两物体都是均匀球体或物体间距离非常远，物体的大小与距离比较可忽略不计时，才可应用此公式。若两物体不能看成质点时，应把物体进行分割，使每一小块线度都远小于两者间的距离，然后用叠加的方法求总引力。

　　设想把挖去的那部分填满铅，补上小球的体积，则：

　　

　　设整个大球对O2球的万有引力为F1，则：

　　　　　　方向水平向左。

　　设补的那个小球对O2球的万有引力为F2，则：

　　　　方向水平向左。

　　月牙形对小球O2的万有引力由③、④得：

　　

　　方向水平向左，由O2指向O1。

（三）万有引力定律在天文学上的应用

1、研究天体运动的基本方法

　　在天体运动中起决定作用的是万有引力，万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题。

　　（1）我们近似地把一个天体绕另一个天体的运动看作是匀速圆周运动。向心力就是它们之间的万有引力，即：

　　

　　其中M为中心天体的质量，m为做匀速圆周运动的天体的质量，r为轨道半径，即两天体球心间的距离，a为向心加速度。应用时要根据实际情况选用适当的公式进行分析。通常物体之间的万有引力很小，以致察觉不出。但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性的作用。

　　（2）在不考虑天体自转的情况下，通常认为天体表面上的物体的重力等于它所受的万有引力，即：

　　

　　其中M为天体的质量，m为天体表面上物体的质量，R为天体的半径，g为天体的表面的重力加速度。

2、具体应用

　　（1）求天体质量（见例3）

　　（2）求天体平均密度（见例4）

　　（3）求天体上物体重力与重力加速度（见例5）

　　（4）发现未知天体

　　（5）人造卫星与宇宙速度

例3、某行星的一颗小卫星在半径为 r的圆轨道上绕行星运动，运动的周期是T.已知引力常量为G，这个行星的质量M=___________.

解析：

　　本题考查应用万有引力定律计算天体质量，行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力。

　　由于

例4、行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星的周期是T，试证明ρT2为一个常数。

解析：

　　将行星看作一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。

　　设半径为R，则密度ρ与质量M、体积V的关系为：

　　

　　对卫星，万有引力提供向心力

　　

例5、某行星自转周期为6h，在该行星上用弹簧称测某物体的重力，在该行星赤道上称得物体重量是两极时测得读数的90%，若该行星看作球体，则它的平均密度为多少？（保留一位有效数字）

解析：

　　该题要考虑此行星的自转对重力的影响，在两极，物体的重力等于万有引力；在赤道上，物体的重力等于万有引力减去物体随行星自转需要的向心力。

　　根据万有引力定律得，在两极：

　　

　　注意：在考虑天体自转的情况，该天体对物体的万有引力的一个分力提供物体随天体一起自转需要的向心力，另一个分力才是物体的重力。