主讲： 中学高级教师　　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、极差

　　一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差．

　　极差能够反映数据的变化范围，生活中经常用到极差．

　　说明：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端值的影响较大．

2、方差

　　（1）在一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“s2”表示，即：

　　

　　（2）方差的计算方法：

　　　　①定义法，就是用上面方差的定义公式进行计算；

　　　　②原始数据简化计算法：；

　　③新数据简化计算法：当一组数据中的数据较大且比较集中时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x′1=x1－a,x′2=x2－a,…x′n=xn－a；那么

3、标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即标准差=．

详解：

　　(1)极差、方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，方差越小的，波动越小，即与其平均值的离散程度较小，从而它比较稳定；极差计算方便，但只对极端值较为敏感；(2)求方差的步骤可以概括为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”，得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况；(3)方差的数量单位是原数据单位的平方．

4、用计算器求一组数据的标准差、方差：

　　具体操作应由不同型号的计算器的功能决定．

二、典型例题剖析

例1、在2005年的高考中，参加高考的考生年龄最大的68岁，年龄最小的是13岁，求2005年高考考生年龄的极差，说明了什么?你有什么感慨，用一句话表述．

　　分析：极差＝最大值－最小值．

　　解答：年龄极差=68－13=55(岁)

　　从年龄极差看，我国高考制度已日趋完善，考生不再受年龄诸多因素的限制．

　　感慨：大学的校门永远向你敞开．

例2、为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近．质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量如下(单位：g)：

　　甲厂：75　74　74　76　73　76　75　77　77　74　74　75　75　76　73　76　73　78　77　72

　　乙厂：75　78　72　77　74　75　73　79　72　75　80　71　76　77　73　78　71　76　73　75

把这些数据整理成图．

(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗?

(2)求出它们的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线；

(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值又是多少?它们相差几克?乙厂呢?

(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂的鸡腿?与同学交流．

分析：

　　(1)根据数据组和分布图易估计这两个厂家鸡腿的平均质量，它们都接近75 g；(2)利用平均数可以表示一组数据的平均水平；(3)平均质量只能反映总体的集中趋势，并不能反映个体的变化情况．从上图看出，甲厂的产品更符合要求．

解答：

　　(1)估计平均质量都是75 g．

　　(2)[(75－75)＋(74－75)＋…＋(72－75)]＋75=75

　 　　[(75－75)＋(78－75)＋…＋(75－75)]＋75=75．

　　(3)甲厂鸡腿质量的极差：78－72=6 (g)；

　　　 乙厂鸡腿质量的极差：80－71=9 (g)．

　　(4)应购买甲厂的鸡腿．

方法总结：

　　极差是刻画数据离散程度的一个统计量，极差越大，偏离平均数越大，产品的质量性能越不稳定．

例3、从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：

　　甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42

　　乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40

问：(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?

分析：

　　长得高和长得齐是两个不同的概念，看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米苗长得整齐，只要看两种玉米的苗高的方差即可．

解答：

　　(1) (25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)=×300=30(cm)．

　　　　(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)=×310=31(cm)．

　　　　因为，所以乙种玉米的苗长得高．

　　(2) [(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋…＋(42－30)2]= ×1042=104.2(cm2)

　　　　[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋…＋(40－31)2]= ×1288=128.8(cm2)

　　因为，所以甲种玉米的苗长得整齐．

例4、设一组数据x1，x2，…xn，其标准差为sx，另一组数据3x1＋a，3x2＋a，…3xn＋a，其标准差为sy，求sx与sy的关系式．

分析：分别利用标准差的计算公式进行整体代换．

解答：

　　设x1、x2…xn的平均数为，则3x1＋a，3x2＋a，…3xn＋a的平均数为3＋a．

　　

点评：一组数据x1，x2，…xn的方差为s2,则x1±b,x2±b,…xn±b的方差为s2；ax1±b,ax2±b,…axn±b的方差为a2s2．

方法技巧：

　　方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，如长得是否速度一致，是否稳定等都是波动的体现，方差越大，波动越大．

例5、为迎接世界无烟日的到来，小明对10名戒烟成功者戒烟前和戒烟5星期后的体重作了认真统计，并记录如下(单位：kg)：

(1)求这10人在戒烟前和戒烟后的体重的平均数；

(2)求这10人在戒烟前和戒烟后的体重的方差；

(3)通过上述数据，你能得到什么结论?

分析：

　　用计算器求一组数据的平均数、方差，要严格按教材上的说明和不同型号的计算器的不同功能进行操作，否则极易出错；问题(3)具有一定的开放性，要注卷找出数学问题与实际问题的结合点，确定思考的方向，并用简洁和准确的语言加以表述．

解答：

　　(1)将数据按大小重新排列：

　　　　戒烟前：52，52，55，55，60，60，64，67，69，80；

　　　　戒烟后：52，54，55，57，58，62，67，68，70，81；

　　　　用计算器求得：=61.4(kg), =62.4(kg)．

　　(2) =70.44, =73.84．

　　(3)从戒烟前后两组数据的统计量知：①从平均数看戒烟后这10人的平均体重增加了l kg；②从方差看，戒烟后数据的波动比戒烟前数据的波动大，说明戒烟对不同的人所发生的变化程度是不同的，通过对这两组数据的统计分析，得出结论：吸烟有害健康，戒烟对身体健康是有益的．

例6、一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：

　　已知算得两个组的人均分数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．

分析：

　　这是一道开放型问题，要判断这两个组竞赛成绩的优次，应从众数、方差、中位数、高分段人数等多角度分析．

解答：

　　(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些；

　　(2) [2(50－80)2＋5(60－80)2＋10(70－80)2＋13(80－80)2＋
14(90-80)2＋6(100－80)2]=172

　　　　同理可算出=256．

　　　　因为，所以甲组成绩较乙组成绩好．

　　(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看甲组的成绩总体较好．

　　(4)从成绩统计表看，甲组成绩高于90分的人数为14＋6=20(人)，乙组成绩高于90分的人数为12＋12=24(人)．

　　所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好．

方法总结：

　　(1)解这类题目要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算，而不能习惯性地仅由方差的大小决定哪一组的优劣，应从实际出发做多角一度的分析；

　　(2)要在恰当地作出评估后组织好正确的语言作出结论；

　　(3)这类开放型题是知识的综合运用，必须要有扎实的功底、综合解题的能力和较好的语言表述能力．

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