知识要点概述

1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．

2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．

3、二次函数的解析式有下列三种形式：

　　(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；

　　(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；

　　(3)交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．

　　确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．

4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义

　　抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．

　　a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．

5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点

(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；

(2)x=h为抛物线对称轴；

(3)顶点坐标为（h，k）．

依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．

当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；

当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．

6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别

　　抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．

　　要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．

7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．

典型剖析

例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．

下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．

其中正确结论的个数是（　）

A．4　　　　　B．3　　　　C．2　　　　　D．1

解：

　　选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；

　　令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；

　　由对称轴知，④正确；

　　由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．

例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．

解：原式=－1．

　　∵图象与y轴交点在x轴下方，∴b<0．

　　又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，

　　

例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．

(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；

(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．

解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10

　　　　　=[x－(m＋2)] 2－4m－14，

　　　　∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．

　　(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，

　　　

　　　　化简整理得：16m=－48，

　　　　∴m=－3．

　　当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．

例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．

　　(1)求m的取值范围；

　　(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．

解：

(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．

∵A、B分处原点两侧，∴x1x2<0，

即－(m＋1)<0，得m>－1．

又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)

=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，

∴m>－1为m的取值范围．

(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，

则x1=3k，x2=－k．

例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．

解：

∵二次函数当x=1时有最大值－6，

∴抛物线的顶点为（1，－6），

故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．

由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：

a(2－1)2－6=－8，

∴a=－2，

∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．

例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．

　　(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；

　　(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．

解：

（1）由图象可知：a<0，

图象过点（0，1），∴c=1．

图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，

∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．

由题意知，当x=－1时，应有y>0，

∴a－b＋c>0，

∴a＋(a＋1)＋1>0，

∴a>－1，

∴实数a的取值范围是－1<a<0．

(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为

例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．

(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；

(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；

(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，6）．

分析：

　　求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．

解：

①设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组

∴解析式为y=＋x－1．

②设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得

　2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．

③设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得

　－6=a(3＋1)(3－2)，解得．

　∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，

　即．

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