一、知识要点概述

1、定义：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾相接而成的封闭图形叫三角形．

2、三角形的分类

（1）按边分

（2）按角分

3、三角形的一些重要性质

　　（1）边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

　　（2）角与角的关系：三角形内角之和等于180°，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和；

4、等腰三角形的性质

　　（1）等腰三角形的两个底角相等，反之，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等边对等角、等角对等边）；

　　（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形三线合一）．

5、等边三角形的性质

　　等边三角形的三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°．

6、等边三角形的判定

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

7、直角三角形的性质

　　（1）直角三角形的两锐角互余；

　　（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边长的一半；

　　（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半；

　　（4）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

8、直角三角形的判定

　　（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；

　　（2）有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；

　　（3）若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对角是直角．

9、全等三角形的定义

　　能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

10、全等三角形的性质

　　（1）全等三角形的对应角相等、对应线段（边、高、中线、角平分线）相等；

　　（2）全等三角形的周长相等、面积相等．

11、全等三角形的判定

　　（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“SAS”）；

　　（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称“ASA”）；

　　（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“AAS”）；

　　（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称“SSS”）；

　　（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）．

二、典例例题剖析

例1、若一个三角形的三条边长均满足方程x2－6x＋8=0，则此三角形的周长为__________．

解：

　解方程x2－6x＋8=0得x1=2，x2=4．由题设的条件，三角形的三边长无外乎四种组合：2，2，2；4，4，4；2，2，4；2，4，4．其中2＋2=4，说明以2，2，4为边不能构成三角形，其他三组均符合三角形的形成条件．因此，所求三角形的周长为6或10或12．

例2、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．

　　（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

　　（2）选择第（1）小题中的一种情形，说明△ABC是等腰三角形．

分析：

　　本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理．这道题设计新颖，第（1）题是一道条件探索题，也是一道分类讨论题．第（2）题与第（1）题衔接十分紧密，很有创意．这种题型是中考热点题型，应引起重视．

解：

　　（1）依据等腰三角形的判定方法可知：满足①③，①④，②③，②④可判定△ABC是等腰三角形．

　　（2）选择①④．

　　已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC，求证：△ABC是等腰三角形．

证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．

　　　又∵∠EBO=∠DCO，

　　　∴∠EOB＋∠OBC=∠DCO＋∠OCB，

　　　即∠ABC=∠ACB，

　　　∴AC=AB，

　　　∴△ABC是等腰三角形．

例3、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分．求这个三角形腰长和底边长．

解：如图，可设AB=AC=x，底边BC=y．

又BD是中线，则AD=DC=．

因为BD将△ABC的周长分成AB＋AD和BC＋CD两部分为9和15，

由于未指明哪一部分是9，哪一部分是15，因此，有如下两种情况：

（1）解得x=6，y=12，不满足三角形的三边关系，舍去．

（2）解得x=10，y=4，满足三角形的三边关系．

故这个三角形腰长为10cm，底边长是4cm．

点评：

　　方程思想是一种很重要的数学思想，解题时要注意重视，在解答本例时要注意两点：一是要注意分类讨论；二是求出解之后要检验（即所有解是否满足三角形三边之间的关系定理）．

例4、已知，如图在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．

分析：

　　这是一道探究型试题，首选可大胆地猜想一个△MEF是Rt△，即要证明∠FME=90°，注意到M是BC的中点，可连结AM，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求证．

解：△MEF是等腰直角三角形．

证明：连接AM．

∵AB=AC，∠BAC=90°，M点是BC的中点，

∴AM==BM，且AM⊥BC于点M，

∠MAB=∠MAC=∠BAC=45°．

又∵DE⊥AC，DF⊥AB，AB⊥AC，

∴DE//AB，DF//AC．

而∠BAC=90°，

∴四边形DFAE是矩形，

∴DF=AE．

∵DF⊥BF，∠B=45°，

∴∠BDF=45°=∠B，

∴BF=FD，∴AE=BF，

∴△AEM≌△BFM（SAS），

∴EM=FM，∠AME=∠BMF．

∵∠BMF＋∠AMF=90°，

∴∠AME＋∠AMF=90°，即∠EMF=90°，从而证明△EMF是Rt△．

又MF=EM，故△EMF是等腰直角三角形．

例5、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD延长线于点E，且AE=．求证：BD是∠ABC的平分线．

分析：

　　AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到等腰三角形．通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形．

证明：延长BC、AE交于F点．

　　∵AC⊥BC于点C，AE⊥BD于E，

　　∴∠AED=90°，∠ACF=∠ACB=90°，

　　∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°．

　　又∠3＝∠4，∴∠1=∠2．

　　又∵AC=CB，∴△ACF≌△BCD（ASA），

　　∴AF=BD=2AE，则AE=EF．

　　又∵∠AEB=∠BEF=90°，BE=BE，

　　∴△ABE≌△FBE（SAS），

　　∴∠ABE=∠FBE，即BD是∠ABC的平分线．

例6、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE＋CD．

证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．

　　　∵点O是∠BAC与∠ACB的平分线AD与CE的交点，

　　　∴∠DOC=90°＋∠ABC=120°，

　　　得∠DOC=∠AOE=∠AOF=60°，则∠FOC=60°，

　　　故易证△FOC≌△DOC（ASA），

　　　∴DC=FC，故AC=AF＋FC=AE＋DC．

例7、如图，已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6︰5︰4．求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比．

解：以点A为中心将△AOB逆时针旋转60°得到△AO′C，则△AO′C≌△AOB，

　　∴O′C=OB．连接O′O，则△AOO′为等边三角形．

　　∴OO′=OA，故△OO′C为以OA、OB、OC为边组成的三角形．

　　因为∠AOB︰∠BOC︰∠AOC=6︰5︰4，∠AOB＋∠BOC＋∠AOC=360°，

　　∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，

　　∴∠AO′C=∠AOB=144°，

　　∴∠OO′C=∠AO′C－∠AO′O=144°－60°=84°，

　　∠O′OC=∠AOC－∠AOO′=96°－60°=36°，

　　∴∠OCO′=180°－∠OO′C－∠O′OC=180°－84°－36°=60°．

　　故以OA、OB、OC为边组成的三角形中，其三边所对的角度比为60°︰36°︰84°=5︰3︰7．

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