主讲： 中学高级教师　　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、勾股定理的逆定理是直角三角形判定的重要方法

　　如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

　　这就是勾股定理的逆定理．在叙述定理时，不能简单地将原命题(勾股定理)的条件和结论颠倒过来，写成“如果一个三角形的两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”．要是这样叙述，则条件中所说“直角边，斜边”等名词已承认三角形是直角三角形，而结论又为直角三角形，这样条件与结论就会混乱．

　　勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！

2、逆命题和逆定理的概念

　　把一个命题的题设和结论互换，就得到它的逆命题．一个真命题的逆命题不一定也是真命题．例如“全等三角形的对应角相等”是一个真命题，它的逆命题是“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，显然这个命题不是真命题，即为假命题．

　　一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是这个定理的逆定理．例如：勾股定理和勾股定理的逆定理，就是互逆定理．前一个是直角三角形的性质定理，后一个是直角三角形的判定定理，我们要善于比较这两个定理间的联系和区别．我们前面学习的角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等都是像这样的互逆定理，大家可以对照复习一下．

　　对于那些不是以“如果……，那么……”形式给出的命题，在叙述它们的逆命题时，可以把这些命题变为“如果……，那么……”的形式．例如“等边对等角”可以改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”．

3、勾股数组

　　能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．

　　不难验证(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，…均为基本勾股数组．

　　显然，若(a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc)也为勾股数组，其中k为正整数．例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，…为勾股数组．

　　若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷．

二、重难点知识归纳

1、勾股定理的逆定理的应用．

2、逆命题和逆定理的概念．

3、勾股数组．

三、典型例题剖析

1、利用勾股定理的逆定理证直角

例1、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．求△ABC的面积．

解：

　　∵BD2＋AD2=36＋64=100=102=AB2，

　　∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°．

　　在△ADC中，

　　

　　∴BC=BD＋DC=6＋15=21．

　　

点拨：

　　已知三角形的三边长，常验证其中是否有两个数的平方和等于第三个数的平方，以便判断该三角形是否为直角三角形．

例2、如图，四边形ABCD为正方形(四角为直角、四边相等的四边形)，点E为AB中点，点F在AD边上，且求证：EF⊥CE．

证明：

　　连结FC，设正方形边长为a，则

　　

　　在Rt△AEF中，

　　在Rt△BCE中，

　　在Rt△CDF中，

　　即EF2＋EC2=FC2．

　　∴△CEF为直角三角形，且CF为斜边．∴EF⊥CE．

点拨：

　　这里先运用勾股定理计算出△CEF各边的边长，然后运用勾股定理的逆定理来判断其为直角三角形，这是证明两条直线垂直的又一种方法．

例3、如图，P为正三角形内一点，且PC=3，PB=4，PA=5．求∠BPC．

解：

　　将图中的△ACP绕顶点C按逆时针旋转60°，得△BP′C的位置．

　　∵PC=P′C，∠PCP′=60°，

　　∴△PP′C为正三角形．

　　在△BP′P中，BP=4，PP′=PC=3，BP′=AP=5，

　　∴△BP′P为Rt△．

　　∴∠BPP′=90°，

　　∠BPC=∠BPP′＋∠P′PC=90°＋60°=150°．

点拨：

　　由PC=3，PB=4，PA=5想到常见的勾股数组，但这三条线段不在同一个三角形中，但可以借助旋转将三条线段集中起来，由勾股定理的逆定理得到一个直角三角形．

2、勾股数组

例4、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形？

解：

　　∵(2n2＋2n＋1)－(2n2＋2n)=1＞0，

　　(2n2＋2n＋1)－(2n＋1)=2n2＞0，

　　∴2n2＋2n＋1为三角形中最大边．

　　又∵(2n2＋2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，

　　(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，

　　∴(2n2＋2n＋1)2=(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2．

　　由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．

点拨：

　　这里先作差比较确定最大边，其依据是：a－b＞0，则a＞b；a－b=0，则a=b；a－b＜0，则a＜b．实际上有时用这种方法还会有困难，对于不考虑过程仅需要答案的题，还可利用特殊值迅速解决．

例5、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

　　(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a=______，b=______，c=______；

　　(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．

解：

　　(1)n2－1；2n；n2＋1．

　　(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明如下：

　　∵a2＋b2=(n2－1)2＋4n2=n4－2n2＋1＋4n2

　　=n4＋2n2＋1=(n2＋1)2=c2，

　　∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．

点拨：

　　解决此类问题的思路一般是观察→猜想→证明．

例6、(2002，湖北省)如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC的长．

解：

　　如图，延长AD至E，使DE=AD=6，连结CE．

　　∵CD=BD，且∠ADB=∠EDC，

　　∴△ABD≌△ECD．

　　∴AB=CE=5．

　　在△ACE中，

　　AE=12，CE=5，AC=13．

　　∴AE2＋CE2=122＋52=169=132=AC2，

　　∴∠AEC=90°．

　　在Rt△CDE中，

　　CD2=DE2＋CE2=62＋52=61，

　　．

点评：

　　根据题设的条件，由中线联想到中线倍长，将分散的条件集中起来，由数据关系可判定△ACE是直角三角形，再在Rt△CDE中求CD的长就不难了．

例7、写出下列命题的逆命题，并判断真假．

　　(1)如果a=0，那么ab=0；

　　(2)如果x=4，那么x2=16；

　　(3)面积相等的三角形是全等三角形；

　　(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；

　　(5)在一个三角形中，等角对等边．

分析：

　　先分清原命题的题设和结论，再把题设和结论互换位置，就得到原命题的逆命题．

解答：

　　(1)的逆命题是：如果ab=0，那么a=0．它是一个假命题．

　　(2)的逆命题是：如果x2=16，那么x=4．它是一个假命题．

　　(3)的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．

　　(4)的逆命题是：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角．它是一个假命题．

　　(5)的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角．它是一个真命题．

方法总结：

　　写一个命题的逆命题的关键是分清题设和结论，再交换题设与结论的位置，必要时要加一些适当的语句，切忌不能生搬硬套．

例8、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来．

　　(1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等；

　　(2)内错角相等，两直线平行；

　　(3)等边三角形的三个角都等于60°．

分析：

　　先写出每个定理的逆命题，再判断其真假．

解答：

　　(1)的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是直角．它是一个假命题．故(1)没有逆定理．

　　(2)的逆命题是：两直线平行，内错角相等．它是一个真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．

　　(3)的逆命题是：三个角都等于60°的三角形是等边三角形，它是一个真命题，故也是它的逆定理．

方法总结：

　　先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可．

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