在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．
一般有以下三个步骤：
(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；
(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．
其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：
(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；
(2)如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答并注明单位．
(1)求河的宽度．(保留根号)
(2)除上述测量方案外，请你在图(2)中再设计一种测量河的宽度的方案．
解析：
(1)由题设可得△ABC为直角三角形，且有∠B=∠BCE=30°，且AC=150米，故可解直角三角形ABC求出AB．
(2)可用解直角三角形、全等三角形、相似三角形等性质来测量河的宽度．
解：如图
(3)
(1)∵∠BCE=30°，∴∠ACB=60°
又∠CAB=90°，AC=150米，∴在Rt△ABC中
(2)利用全等、相似等方法，正确即可．
点评：
在解决有关方向角的问题时，南北方向与东西方向是垂直的，可构成直角三角形，根据已知条件解相关的直角三角形是一般方法．
例2、如图所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高为
，底面半径为2m．某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m．
(1)求∠B的度数；
(2)若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度．
分析：
本题综合考查锐角三角函数、直角三角形等知识．解答时需作出过点D和点A的BP的垂线，然后在直角三角形中利用边角关系求解．
解：
(1)过点D作DF⊥BC于点F，
由题意，得
EF=2m，BE=4m，
在Rt△DFB中，
所以∠B=30°．
(2)过点A作AH⊥BP于点H．
因为∠ACP=2∠B=60°，所以∠BAC=30°，AC=BC=8m，
在Rt△ACH中，
即光源A距水平面的高度为
例3、如图所示，秋千拉绳OB的长为3米，静止时，踏板到地面的距离BE长为0.6米(踏板的厚度忽略不计)，小亮荡该秋千时，当秋千拉绳由OB运动到OA时，拉绳OA与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时该秋千踏板离地面的高度AD是多少米？(精确到0.1米)
解析：在Rt△OAF中，先求OF，再求AD的高度．
解：如图，作AF⊥OE于F，在Rt△AFO中，∠AFO=90°，
∴OF=OA·cos∠AOF
又∵OA=OB=3，∠AOF=55°
∴OF=3·cos55°≈1.72
∴EF=3＋0.6－1.72≈1.9
∴AD=EF=1.9(米)
点评：将实际问题转化为解直角三角形的问题是解决问题的关键．
例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为
，坡面AB的水平宽度为
上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？
分析：
首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知
求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．
点评：
(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．
(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形通过作底边的高线来构造直角三角形．
(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．
例5、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？
分析：
将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．
解：
根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=30°，AB=BC=8，作CD⊥AB于D．
∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．
在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，
注意：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．
例6、某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．
(1)请问1号救生员的做法是否合理？
(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
)
分析：
(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．
(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．
点评：
掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．
，坡面与水平面的夹角叫做坡角α，
（如图2）.
