主讲：方敏文

一周强化

一、知识概述

1、全等三角形的判定

　　方法三：三边对应相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS”．

　　方法四：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”．

2、直角三角形全等的判定

　　直角三角形全等的判定方法除了一般三角形全等的判定方法外，还有一种特殊的方法．

　　斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”

3、三角形的稳定性

　　只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性．

二、重难点知识

1、三角形全等的条件的选用

　　选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：

已知条件	可选择的判定方法
一边一角对应相等	SAS　　AAS　　ASA
两角对应相等	ASA　　AAS
两边对应相等	SAS　　SSS

2、直角三角形全等判定条件的选择技巧

　　（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.

　　（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等.

　　（3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：

　　①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS；

　　②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS.

3、全等三角形中的辅助线

　　对于比较复杂的计算和证明问题，已知条件和结论之间的关系不明确，为了揭示图中隐含的性质，或是把分散的元素适当集中，或者把复杂的图形细分，或者为发挥特殊点线的作用，我们经常要利用添加辅助线来构造全等三角形从而证明我们所需要的结论．

　　常用辅助线作法有(1) 倍长中线法；（2）截长补短法；（3）分割构造全等三角形法．

三、典型例题分析

例1、△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C的一条直线CE⊥AE于E，BD⊥CE的延长线于D，求证：AE=BD＋DE.

分析：

　　从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角度，可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现△ACE与△CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE＋DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.

证明: ∵∠ACB=90°(已知)

　　∴∠2＋∠3=∠ACB=90°

　　∵AE⊥CE，BD⊥CE（已知）

　　∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）

　　∴∠1=∠3（等角的余角相等）

　　∴∠AEC=∠CDB=90°（垂直定义）

　　在△ACE与△CBD中，

　　∴△ACE≌△CBD（AAS）

　　∴BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）

　　∵AE=CD=CE＋DE

　　∴AE=BD＋DE（等量代换）

例2、如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE，其中，AD∥BC，∠1=∠2，AD＋BC=AB，求证：(1)DE=CE；(2)∠3=∠4.

证明：

　　延长AE，BC相交于点F．

　　(1)∵AD∥BF，∴∠1=∠F.

　　又∠1=∠2，∴∠2=∠F，∴AB=BF.

　　又AB=AD＋BC ，而BF=BC＋CF，∴AD=CF．

　　在△ADE与△FCE中，

　　∴△ADE≌△FCE（AAS），∴DE=CE.

　　(2)由(1)知△ADE≌△FCE，∴AE=EF．

　　在△ABE与△FBE中，

　　∴△ABE≌△FBE（SSS），∴∠3=∠4．

例3、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°．

方法1：过点P作PE⊥BA交BA的延长线于E．

　　　　∵∠1=∠2，又PE⊥BA，PD⊥BC.

　　　　∴PE=PD，∠4=∠5=90°.

　　　　在△BPE与△BPD中，

　　　　∴△BPE≌△BPD（AAS），∴BE=BD.

　　　　又AB＋BC=2BD，∴AB＋BD＋CD=BD＋BE，

　　　　即AB＋CD=BE=AB＋AE，∴CD=AE

　　　　在△APE与△CPD中，

　　　　∴△APE≌△CPD（SAS）．

　　　　∴∠PCD=∠EAP，又∠BAP＋∠EAP=180°，

　　　　∴∠BAP＋∠BCP=180°.

方法2：在BC上截取BF=AB，连接PF．

　　∵AB＋BC=2BD，即AB＋BF＋DF＋CD=2(BF＋DF)

　　又AB=BF，∴DF=CD

　　又PD⊥CF，∴PD是CF的垂直平分线，∴PF=CP ，∴∠PCB=∠PFC．

　　又∠BFP＋∠PFC=180°，∴∠BFP＋∠BCP=180°．

　　在△ABP与△FBP中，

　　∴△ABP≌△FBP（SAS），∴∠BAP=∠BFP．

　　∴∠BAP＋∠BCP=180°．

例4、已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？

　　（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），

　　　　∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.

　　　　在Rt△BDF和Rt△ADC中，

　　　　所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.

　　　　所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.

　　　　因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.

　　　　因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），

　　　　所以∠BEC=90°.

　　　　所以BE⊥AC（垂直定义）；

　　（2）命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，

　　　　所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.

　　　　所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.

　　　　所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.

　　　　在△BFD与△ACD中，

　　　　所以△BFD≌△ACD（AAS）.

　　　　所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.

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