主讲： 高级教师　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、角的平分线的作法

　　（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.

　　（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.

　　（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）

指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.

　　　（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.

2、角平分线的性质

　　在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.

　　　（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形.

　　　（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.

3、角平分线的判定

　　到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.

　　　（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.

4、三角形的角平分线的性质

　　三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.

指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.

　　　（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.

二、重难点知识归纳

　　角平分线的画法、性质和判定，性质和判定的应用.

三、典型例题剖析

例1、如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线MN，使MN⊥AB.

分析：由C点在AB上可知∠ACB=180°，要作MN⊥AB于C，即是作∠MCA=90°，因此可以作出平角∠ACB的平分线即可.

作法：（1）以C为圆心，以任意长为半径画弧交AB于D、E两点.

　　　（2）分别以D、E为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点G.

　　　（3）过C、G作直线MN，则MN⊥AB.

例2、如图所示，OD平分∠AOB，在OA、OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN.

分析：因为PM⊥BD，PN⊥AD，所以要证PM=PN，只需证∠3=∠4即可.而∠3=∠4可通过证△OBD≌△OAD得到.

证明：因为OD平分∠AOB，所以∠1=∠2（角平分线定义）.

　　在△OBD和△OAD中，

　　所以△OBD≌△OAD（SAS）.

　　所以∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）.

　　又因为PM⊥BD，PN⊥AD（已知），

　　所以PM=PN（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.

例3、已知：如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF.

分析：欲证：AD⊥EF，就要证

　　所以考虑证△AEO≌△AFO，由题中条件可知△AEO、△AFO已有一边（公共边）一角对应相等，要证AE=AF，问题就解决了，所以需先证明△AED≌△AFD.

证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC（已知），

　　所以DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.

　　在Rt△AED和Rt△AFD中，

　　所以Rt△AED≌Rt△AFD（HL）.

　　所以AE=AF（全等三角形对应边相等）.

　　在△AEO和△AFO中，

　　所以△AEO≌△AFO（SAS）.

　　所以∠AOE=∠AOF（全等三角形对应角相等）.

　　所以所以AD⊥EF（垂直定义）.

例4、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.

证明：因为AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，

　　所以AE=AF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.

　　在△ABE与△ADF中，AE=AF，AB=AD（已知），∠AEB=∠AFD=90°，

　　所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.即△ABE≌△ADF.

例5、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC.

分析：要证OB=OC，需证△BOF≌△COE，条件有对顶角，直角，又OA是角平分线，不难证OF=OE，此问题得证.

证明：因为BE⊥AC，AB⊥CF（已知），

　　所以∠BFO=∠CEO=90°（垂直定义）.

　　又因为BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC，

　　所以OF=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

　　在△BOF和△COE中，

　　所以△BOF≌△COE（ASA），所以OB=OC（全等三角形的对应边相等）.

例6、“角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，如图所示：（1）若∠BAD=∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD=CD，（2）若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD=CD，则∠BAD=∠CAD.试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？

　　你能在图中找出来吗？

分析：解此题时受思维定势的影响，容易这样想：修建点到AB、BC、CA的距离相等，则该点就应是△ABC的三个内角的平分线的交点，其实在△ABC的外部也存在满足条件的点.

解：如图所示：

　　（1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；

　　（2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4；

　　　　故满足条件的修建点有四处，即O1， O2，O3，O4.

- 返回 -