主讲： 中学高级教师　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

勾股定理

　　如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

　　指出：

　　（1）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，即勾2＋股2=弦2．

　　（2）勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理，它为我们利用计算的方法研究几何图形的性质提供了新的途径．

　　（3）勾股定理的证明常用面积法证明，读者可根据图的几种拼图方式，用面积证明勾股定理．

　　（4）勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．

二、重点、难点、疑点突破

1、勾股定理

　　勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理”．

　　勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a，b，c，其中c为斜边）的三边关系，即c2=a2＋b2．

　　它的变形为c2－a2=b2或c2－b2=a2．

　　运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．

　　例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm，4cm，求第三边长．

　　因为该题设没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论．

　　当两直角边分别为3cm，4cm时，由勾股定理有斜边为=5cm；

　　当斜边为4cm，一直角边为3cm时，则另一直角边为．

　　故第三边为5cm或cm．

2、直角三角形的几个性质

　　（1）两锐角互余；

　　（2）三边长满足勾股定理；

　　（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半，三边长的关系为a，，2a；

　　（4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a，a，；

　　（5）面积等于两直角边乘积的一半．

3、用尺规画长为的线段

　　教材中介绍了用尺规画长为的线段的作法，对画长为（k为自然数）的线段，我们通常可将k写成两个自然数的平方和或平方差来解决．

　　例如用尺规画长为的线段．

　　因为21=25－4=52－22，所以画Rt△ABC，使一条直角边AC=2，斜边AB=5，则另一条直角边BC=；

　　同理，因为37=36＋1=62＋12，所以画Rt△ABC，使两直角边AC=1，BC=6，则斜边AB=．

4、数形结合思想

　　数形结合是中学数学中一种重要思想方法，它把代数的精确描述与几何图形的直观结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，也将抽象思维与形象思维有机地结合在一起，实现了数与形的统一．正如华罗庚所说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．”

　　例如对于勾股定理的证明，教材中就是以几何直观形式呈现的，清晰易懂．又由图，我们不难得出下面的结论：

　　对于正数a，b，c，d，如果a＋b=c＋d，那么，．

　　结合图形，如何证明，同学们不妨一试，亲身体验数形结合的神奇！

三、典型例题剖析

1、运用勾股定理求值

例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，CD=，∠BCD=30°，求AC的长．

解：∵CD⊥AB于D，∠BCD=30°，∴BD=BC．

　　设BD=x，则BC=2x．

　　在Rt△BCD中，由勾股定理有BD2＋CD2=BC2，即

　　x2＋()2=(2x)2，解得x=2．

　　∴BD=2，∵AB=5，∴AD=3．

　　在Rt△ACD中，由勾股定理有

　　AC2=AD2＋CD2=32＋()2=21，

　　∴AC=．

点拨：

　　这里分别在两个直角三角形中运用了勾股定理，但含30°角的直角三角形的性质也给解题带来了很大的方便．

例2、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．

解：连结PB，BD=BC－DC=6．

　　在Rt△BDP和Rt△PDC中，

　　PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2，

　　∴BP2－BD2=PC2－DC2．

　　∴BP2－ PC2=36－9=27．

　　∵AP=PC，∴BP2－AP2=AB2=27，

　　∴AB=．

点拨：

　　连结BP，在PD为公共边的两个直角三角形中运用勾股定理，得到BP2－PC2=BD2－DC2=27，是解答本题的关键所在．

例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，BE=，AD=5，求AB的长．

解：设CE=x，CD=y，则

　　AC=2x，BC=2y．

　　在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得

　　

　　在Rt△ABC中，．

点拨：运用勾股定理计算时，常设未知数，列方程或方程组来求解．

2、构造直角三角形解题

例4、如图，已知，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1．求BC和AD的长．

解：如图，延长BC，AD交于E．

　　∵∠B=90°，∠A=60°，

　　∴∠E=30°，∴AE=2AB=4．

　　同理CE=2CD=2．

　　在Rt△ABE中，BE2=AE2－AB2=16－4=12，

　　∴BE=．

　　在Rt△CDE中，DE2=CE2－CD2=4－1=3，

　　∴DE=．

　　∴BC=BE－CE=－2，AD=AE－DE=4－．

点拨：

　　灵活根据图形及条件，构造直角三角形（其实也就是补图），创造条件去利用勾股定理解题．

例5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2＋BE2=DE2．

解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，则

　　∠ACF=∠B=45°，BE=CF，∠BAE=∠CAF．

　　又∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°．

　　∵∠EAD=45°，∴∠BAE＋∠DAC=45°．

　　∴∠DAF=∠CAF＋∠DAC=45°．

　　在△AED和△AFD中，

　　∴△AED≌△AFD，∴ED=FD．

　　又在Rt△CDF中，CD2＋CF2=FD2，∴CD2＋BE2=DE2.

点拨：

　　此题从待论证的结论可以联想到勾股定理，而三条线段不在同一个直角三角形中，故可运用旋转法将分散的线段集中在同一个三角形中．

3、运用面积法解题

例6、如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24．在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（　）

　A．1　　　　　　　　　　　　B．3

　C．6　　　　　　　　　　　　D．无法求出

解：依勾股定理知AC=．

　　设点P到各边的距离为r，连结PA、PB、PC．依三角形的面积关系，有

　　S△ABP＋S△BCP＋S△ACP=S△ABC，

　　即AB·r＋BC·r＋AC·r=AB·BC．

　　得（7＋24＋25）r=7×24，解得r=3．

　　故选B．

点拨：

　　涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而可应用面积法来解题．因为它是一种代数方法，因此显得十分直观、简捷．

例7、如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且．求PD、PE、PF的长．

解：在Rt△ABC中，

　　∵AB=4，AC=3，∴BC==5．

　　设PF=x，PE=y，PD=z，则

　　．　　①

　　连结PA、PB、PC．

　　∵S△PAB＋S△PBC＋S△PAC=S△ABC，

　　∴AB·x＋BC·z＋AC·y=AB·AC，

　　即4x＋3y＋5z=12．　　　②

　　①＋②，得4x＋3y＋5z＋=24，

　　配方，得

　　

　　∴PD=PE=PF=1．

点拨：

　　本题显然不能直接运用勾股定理来计算PD、PE、PF的长，只能在连结PA、PB、PC后，将原三角形分成三个分别以AB、BC、CA为底，PF、PD、PE为高的三角形，由面积法列出关系式，再利用题设条件，即可求解．

4、构造几何图形解答代数问题

例8、设a、b、c、d都是正数，求证：

　　．

分析：题中出现线段的平方和，考虑构造直角三角形，利用勾股定理证明．

证明：构造一个边长分别为(a＋b)、(c＋d)的矩形ABCD（如图）．

　　　在Rt△ABE中，

　　　．

　　　在Rt△BCF中，

　　　．

　　　在Rt△DEF中，

　　　．

　　　在△BEF中，BE＋EF>BF，即

　　　

点拨：

　　勾股定理将直角三角形的位置关系（两边垂直）转化为数量关系，这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具，反过来，对有些代数问题，特别是含有平方和或平方差的代数式，我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决，即用几何方法解决代数问题．

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