矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的所有性质，而且还具有各自的特殊性质．
1、矩形的性质定理及推论
性质定理1：矩形的四个角都是直角．
性质定理2：矩形的对角线相等．
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2、菱形的性质定理
性质定理1：菱形的四条边都相等．
性质定理2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
3、正方形的性质
从正方形的定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．
正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．
例1、在矩形ABCD中，AE⊥BD，∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠CAE的度数．
分析：
由四边形ABCD是矩形易知∠BAD＝90°．由∠BAE∶∠EAD＝2∶3，可求出∠BAE和∠DAE．如果能求出∠DAO，即可求出∠CAE．由矩形的性质定理易知OA＝OD，故∠DAO＝∠ADO，而∠ADO＋∠ABE＝90°，若能求出∠ABE，就能求出∠ADB．由∠BAE＋∠ABE＝90°，可求出∠ABE．
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∵∠BAE∶∠EAD＝2∶3，∠BAE＋∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝36°，∠EAD＝54°．
∵ AE⊥BD，∴∠ABE＋∠BAE＝90°．
又∵∠ABD＋∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠BAE＝36°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ OA＝
AC＝
BD＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝36°．
∴∠CAE＝∠DAE－∠ADO＝18°．
例2、如图，E、F分别为正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE与CF相交于点P，求证：AP＝AB．
分析：
这里用证三角形全等的方法来证线段相等比较困难，易证出BE⊥FC，从而想到构造直角三角形，用直角三角形性质来解决．
解：
延长BA、CF交于点G，
在正方形ABCD中，
BC＝CD，AD＝CD，∠FDC＝∠BCE．
又∵E、F分别为CD和AD的中点，
∴FD＝EC．
∴△CDF≌△BCE（SAS）．
∠FCD＝∠EBC，
又∠EBC+∠PEC＝90°，
∴∠FCD+∠PEC＝90°．
∴∠BPF＝90°．
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G＝∠DCF．
又F为AD中点，∴AF＝FD．
∴△AFG≌△DCF（AAS）．
∴AG＝CD，又∵AB＝CD，
∴AG＝AB，∵∠BPF＝90°．
∴AP为直角△BPG斜边BG上的中线，
由直角三角形性质知：AP＝AB．
总结：
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”，用起这些性质来往往会收到奇效．
菱形具有平行四边形的一切性质，它还具有一般的平行四边形所不具有的性质，可分别从边和对角线的两个角度来记．
例3、在菱形ABCD中，AB＝AC，求∠ADO的度数．
分析：
由菱形的对角线平分一组对角可知∠ADO＝
∠ADC，若能求出∠ADC，就能求出∠ADO的度数．而∠ADC＝∠ABC，由菱形的四条边相等可知AB＝BC，又由AB＝AC可知△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°．
解：
∵菱形ABCD，∴∠ABC＝∠ADC，∠ADO＝
∠ADC，AB＝BC．
∵ AB＝AC，∴ AB＝AC＝BC．
∴∠ABC＝60°，
∴∠ADO＝
∠ADC＝
∠ABC＝30°．
正方形是一种更为特殊的平行四边形，它既具有平行四边形的一般性质，又具有矩形与菱形的独特性质。在学习中要注意理解平行四边形、矩形、菱形和正方形各种图形之间的关系．
例4、已知：如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点，F是CD的中点，且AE＝DC＋CE．求证：AF平分∠DAE．
