主讲：方敏文

一周强化

一、知识概述

1、理解和掌握等可能事件概率的计算公式，并会运用公式求等可能性事件的概率．

2、会用列表法和树形图法求等可能事件的概率．

3、理解和设计概率统计的模拟实验，用频率估计概率．

4、用概率统计方法解决生活中的实际问题．

二、重难点知识讲解

1、古典概型的特点及其概率计算公式

（1）古典概型的特点

　　古典概型具有两大特点：①每次试验中，各种结果发生的可能性相等；②试验中所有可能出现的结果为有限多个．

(2)古典概型概率的计算公式

　　．

2、常用的两种列举法

　　列表法：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法．

　　树形图法：当事件中涉及的有两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫树形图法．

　　当事件的发生只经过两个步骤时，一般用列表法就能将所有的可能结果列举出来，当经过多个步骤时，表格就不够清晰；而树形图法的适用面较广，特别是对多个步骤时，层次清楚，一目了然．

3、当实验次数足够多时，事件A的频率稳定在某个常数p附近，我们把这个常数p叫做事件A的概率．

4、通过实验方法，用频率估计机会的大小，必须要求实验是在相同条件下进行.这样，频率才具有稳定性，才能反映真实情况，具有合理性，用计算器模拟实验具有优越性．

三、典型例题剖析

例1、车间生产了100件产品中有95件合格产品，5件不合格产品，现从中随机抽出一件进行质量检查．请问：

(1)恰好抽到合格产品的概率是多少?

(2)恰好抽到不合格产品的概率是多少?

(3)抽到合格产品和不合格产品的概率是多少?

分析：

　　从100件产品中抽一件产品共有100种可能，所有可能的结果总数为100，抽到合格产品的可能结果是95种，抽到不合格产品的可能有5种．

解：

　　(1)抽到合格产品的可能结果是95种，于是恰好抽到合格产品的概率为P(抽到合格产品)==0.95．

　　(2)抽到不合格产品的可能有5种，所以P(抽到不合格产品)= =0.05．

　　(3)从计算结果可以看出P(抽到合格产品)＋P(抽到不合格产品)=0.95＋0.05=1．

例2、如图为红心和梅花两组牌，每组牌面数字都分别是1，2，3．如果从每组牌中各抽一张，并将牌面数字相加，得数字和．求

　　(1)牌面数字和为奇数的概率；

　　(2)牌面数字和为偶数的概率；

　　(3)牌面数字和为6的概率；

　　(4)牌面数字和为几的概率最大?这个概率是多少?

分析：

　　这里只有两组牌，情况并不复杂，可以用列表法，也可以用树形图法，但由于所求问题是两组牌的数字和，又多了一个层次，故用树形图法较为清晰．

　　解法1：(列表法)

　　所有可能出现的结果数为3×3=9．

　　(1)牌面数字和为奇数的有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)共4种，故P(和为奇数)=；

　　(2)牌面数字和为偶数的有5种，P(和为偶数)=；

　　(3)牌面数字和为6的只有(3，3)一种，P(和为6)=；

　　(4)牌面数字和又有2，3，4，5，6共5种情况．观察知和为4的有(1，3)，(2，2)，(3，1)共3种，其概率最大．

　　P(和为4)=．

　　解法2：先画树形图，共有9种可能情况．

　　(1)牌面数字和为奇数的有4种　　P(和为奇数)=；

　　(2)牌面数字和为偶数的有5种　　P(和为偶数)=；

　　(3)牌面数字和为6的只有1种　　 P(和为6)=；

　　(4)牌面数字和为4的概率最大　　P(和为4)= ．

例3、A口袋装有1白、2黑共3个球，B口袋装有2白、3黑共5个球.现在甲乙两同学各自选择一个口袋，又从各自的口袋中摸出两球，游戏规定：若甲乙两人同时摸到一白一黑则为和局，将球放回袋中重摸，直到只有一个先摸到一白一黑为胜，游戏终止，为了获胜，请问选择A、B哪只口袋？

分析：

　　关键是分析A袋，B袋中能摸到一黑一白的概率，哪袋的概率大则选择哪袋。

解：

　　A袋中2个黑球记为黑1，黑2，则从A袋中摸出2球有3种等可能的结果：（白，黑1），（白，黑2）（黑1，黑2），即A袋中摸出一白一黑的概率为而B袋中2个白球记为白1，白2；3个黑球记为黑1，黑2，黑3，则从B袋中摸出两球的等可能结果为：

　　（白1，白2）、（白1，黑1）、（白1，黑2）、

　　（白1，黑3）、（白2，黑1）、（白2，黑2）、

　　（白2，黑3）、（黑1，黑2）、（黑1，黑3）、（黑2，黑3），则B袋中摸出一白一黑的概率为由于因此应选择A袋更合算.

例4、一个小贩设计了一个如图所示的转盘游戏，2元玩一次，玩家转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的区域所标出的物品即为玩家得到的物品.若各物品的价值分别为：铅笔0.30元，笔记本2.20元，橡皮0.40元，圆珠笔1.20元，铅笔盒5.00元，请问这个游戏对谁有利？为什么？

分析：游戏对谁有利，要用概率模型来分析.

解：这个游戏对小贩有利.

　　因为当转动转盘，指针指向铅笔、笔记本、橡皮、圆珠笔、铅笔盒的概率分别为

　　

　　

　　故对小贩有利.

例5、抽屉里有尺码相同的4双黑袜子和1双白袜子混放在一起，在夜晚不开灯的情况下，你随意拿出2只.

　　（1）估计它们恰好是一双的可能性有多大？

　　（2）在进行模拟实验时，若用黑球代替黑袜子，白球代替白袜子，应需大小相同的黑球和白球各多少个？

　　（3）若用小球做模拟实验的过程中，有一次摸出了2个黑球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？不妨试一试，对得到的机会值进行比较.

分析：

　　（1）关键是确定这一事件可能发生情况及所有事件都发生的总情况，再进行比较：

　　（2）在进行模拟实验时，应注意模拟实验的结果与原实验保持一致，不然就不能真实反应问题本质.

解：

　　（1）可将4双黑袜子和1双白袜子共10只编号，得出随意拿出2只的所有可能机会：

　　 依此类推下去

　　 可知共有

　　 而恰好有一双是黑袜子的有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=28（种）

　　 白袜子有1种，共计29种，则恰好为一双的可能性有

　　（2）应需要黑球8个和白球2个替代四双黑袜子和1双白袜子.

　　（3）当摸出2个黑球之后，再未放进去，会影响实验，

　　 结果因为这时实验条件改变了，由原来的8个黑球变为6个黑球.

　　 显然抽屉里只有6个黑球和2个白球了，这时，摸出同色的两球的机会只有

　　（5＋4＋3＋2＋1）＋1=16（种），且取出任意两球的所有可能是

　　 7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=28（种），

　　 则取出同色两球的机会（即频率）为，

　　所以影响实验结果.

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