主讲：高级教师　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．

2、正多边形与圆的关系

把圆分成n(n≥3)等分，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形．

3、正多边形的几个有关概念

(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；

(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；

（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；

(3)边心距：中心到一边的距离，叫做边心距．

4、画正n边形的方法和步骤

(1)将一个圆n等分；

(2)顺次连结各个等分点．

5、等分圆的方法

　　(1)用量角器等分圆：先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的，然后在圆上依次截取这段弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即可得此圆的内接正n边形；

　　(2)用尺规等分圆．

　　用尺规等分圆只能作出一些特殊的等分圆的点：

　　①四等分、八等分等分点；

　　②六等分、三等分、十二等分等分点．

6、弧长的计算公式

　　在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：．

7、扇形的面积计算公式

　　公式一：如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形的面积计算公式为：

．

　　公式二：如果扇形的半径为R，弧长为，那么扇形的面积的计算公式为：

．

8、圆锥的有关计算公式

　　圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积：S侧=πr．

　　圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即S全=πr(r＋)．

二、重难点知识归纳

1、正三角形、正方形、正六边形的有关计算．

2、弧长、面积的有关计算．

三、典型例题剖析

例1、如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD和BE相交于点M，请你仔细观察图形，并直接写出图中所有的等腰三角形．

分析：

　　利用正多边形的定义及多边形的内角和公式计算出各角的度数，再判定等腰三角形．

解：

　　∵五边形ABCDE是正五边形

　　∴AE=AB，EA=ED

　　∴△ABE、△EAD均为等腰三角形．

　　∴

　　又∵∠3=∠2=∠1=36°

　　∴△AME为等腰三角形．

　　∴∠6=∠7=∠1＋∠2=72°

　　∴∠5=∠6，∠7=∠8

　　∴△AME、△ABM、△DEM均为等腰三角形．

总结：

　　判定一个三角形是等腰三角形，既可以从边的相等关系来判定，也可以从角的相等关系来判定．

例2、如图，已知正△ABC的半径为R，求△ABC的边长a，周长P，边心距r和面积S．

分析：

　　因为△ABC是正三角形，所以AD即是△ABC的BC的边上的高、中线，又是∠A的平分线，OC也是∠ACB的平分线，∴，∠OCD=30°．

解：

　　过A作AD⊥BC于D

　　∵△ABC是正三角形

　　∴点O在AD上，a=BC=2CD　　∠OCD=30°

　　在Rt△COD中，

　　．

　　∴；

　　又

　　

总结：

　　涉及正多边形的边长、半径、边心距、周长、面积的计算问题，通常是作高线构造直角三角形，利用直角三角形的相关性质求解．

例3、(1)如图，两个半径为1的⊙O1与⊙O2及⊙O相外切，切点分别为A、B、C，且∠O=90°，则的长为（　）

　　(2)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是(　)

A．2π　　　　　　　　　B．4π

C．6π　　　　　　　　　D．8π

分析：

　　(1)要计算这三段弧长的和，由相切两圆的性质易知△OO1O2为等腰直角三角形，所以∠O1=∠O2=45°，由此不难求出三段弧的长度和；

　　(2)曲线CDEF的长实际上也是三段弧长的和，它们所对的圆心角都是120°，的半径AC=AB=1，的半径BD=2AB=2，的半径CE=3AB=3，所以曲线CDEF的长为．

解：(1)B；(2)B．

总结：

　　运用弧长计算公式计算弧长关键是寻求出弧所在圆的半径及弧所在的圆心角．

例4、解答下列各题：

　　(1)如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为(　)

　　(2)如图，已知扇形OAB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直径的半圆O1和以BC为直径的半圆O2相切于点D，则图中阴影部分的面积为（　）

A．6π　　　　　　B．10π　　　　　C．12π　　　　　D．20π

　　(3)如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P与Q的大小关系是(　)

A．P=Q　　　　　　B．P＞Q　　　　　　　C．P＜Q　　　　D．不能确定

分析：

　　题(1)中，三个阴影部分均为扇形，但圆心角的大小不明确，不可能直接求解．此时应从整体上观察∠A、∠B、∠C的特点；(2)阴影部分的面积应等于扇形面积减去两个半圆的面积；(3)中阴影部分P、Q的面积直接求出十分困难，得另辟蹊径．

解：

　　(1)由图可知∠A＋∠B＋∠C=180°，即阴影部分的面积等于半径为0.5的半圆的面积．

　　∴，故选B．

　　(2)如图，连结O1O2，则O1O2经过点D，

　　设⊙O2的半径为r，在Rt△O1O2O中，，

　　OO2=OB－O2B=12－r，O1O2=6＋r．

　　，即(6＋r)2=62＋(12－r)2，

　　∴r=4．

　　∴

　　故选择B；

　　(3)设两个半圆的另一个交点为C，扇形OAB的半径为R，则

　　

　　故选择A．

总结：

　　本题中的解法都具有一定的技巧，认真观察图形，发现特征是关键，如第(1)题．(2)揭示了求解与圆有关的阴影部分面积问题的基本方法与思路，将不规则图形的面积用规则图形的面积表示．(3)巧妙地避开了计算两部分的阴影面积，利用转化思想，直接推出P=Q．

例5、如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AC=2a，BC=b，以直线AB为轴旋转一周，得到一个几何体，这个几何体的表面积是多少？

分析：

　　观察并联想可知，以直线AB为轴旋转一周得到的几何体是底面重合的两个圆锥，求出底面半径，即可求出几何体的表面积．

解：

　　过C作CO⊥AB于点O．

　　∵AC=2a，∠A=30°，∴CO=a．

　　∴这个几何体的表面积S是两个圆锥的侧面积S1和S2的和．

　　

总结：

　　(1)解本题的关键是要想出旋转后的空间图形；

　　(2)本题中的锥体只有两个侧面，并无底面，因此不能将底面积计算进去了．

例6、一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高为，(1)求圆锥的侧面积；(2)求圆锥的侧面展开图．

分析：

　　(1)圆锥的轴截面是等边三角形，则底面圆半径是母线长的一半，利用这个关系及勾股定理求出底面半径，母线长，即可求出圆锥的侧面积和表面积；(2)画圆锥的侧面展开图时，由于圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，故求其圆心角的度数即可．

解：

　　(1)如图，已知△ABC为等边三角形，AD⊥BC，且，

　　则．

　　设DC=r，则AC=2r．

　　在Rt△ADC中，，解之得r=2cm

　　∴S侧=πr·2r=2πr2=8πcm2

　　S表=S侧＋S底=πr·2r＋πr2=3πr2=12π；

　　(2)∵圆锥的侧面展开图为扇形．

　　设其圆心角为n°．

　　∴，∴n=180

　　∴此时圆锥的侧面展开图是个半圆．如图所示．

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