一周强化

一、一周知识概述

1、等差（比）数列的定义

　　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差（比）等于同一个常数，这个数列就叫做等差（比）数列．

2、等差（比）数列的通项公式和前n项的公式

　　

3、等差（比）中项的概念

　　如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差（比）数列，那么A叫做a与b的等差（比）中项．

4、等差（比）数列的主要性质

　　（1）（m、n、p、q均为自然数）．

　　（2）在等差（比）数列{an}中，成等差（比）数列，其中Sn为前n项的和．

　　（3）在等差数列{an}中，an=am＋(n－m)d，其中d为公差；在等比数列{an}中，an=amqn－m，其中q为公比．

二、本周复习的重难点

1、分别用累加法求具有an+1=an+f(n)的数列的通项，

　 用累积法求具有的数列的通项，

　 用拼凑分离法，求具有an+1=Aan＋B（A、B为常数）的数列的通项．

2、数列{an}为等差数列的判定和证明

　　①证明方法：定义法即若一个数{an}满足an+1－an=d（d是一个与n无关的常数），则数列{an}为等差数列．

　　③常见的判定方法（充要条件）：若一个数列{an}满足an= an-1+d或Sn=an2＋bn（d、b为常数）或2an+1= an＋an+2，则这个数列为等差数列．

3、数列{an}为等比数列的判定和证明

　　①定义法，若数列{an}为等比数列．

　　②等比中项法，若数列{an}为等比数列．

　　③通项法：（k,q为非零常数，）数列{an}为等比数列．

三、方法规律

　　等差、等比数列是两种最简单也是最重要的数列，对它们的理解和灵活运用显得尤为重要．在解有关等差、等比数列的计算问题时，要抓住首项，公差（比），合理利用定义、通项公式及前n项和的公式（运用等比数列的前n项和公式时，注意公比是否等于1．如果不确定要讨论），在a1、an、d(q)、n、Sn五个量中，知其三个即可求另外两个，当涉及到其中连续几项关系要注意合理的设出这些量．

　　等差、等比数列的性质要类比理解、记忆．巧用等差、等比数列的性质，可达到减少运算量，提高解题速度和正确率的目的．

　　对等差、等比数列的综合题型，在解题思路方法上，注意充分应用题中涉及的概念、通项公式、前n项和公式及有关性质、布列等式、消元、解方程．注意联系与变换视角观察分析．

三、例题点评

例1、已知下面各数列的前项和的公式，求 的通项公式。

　　　（1） （2）

解：（1），

　　　　　当时，

　　　　　

　　（2），

　　　　　当时，，

　　　　　由于也适合于时的通项公式，

　　　　　 。

点评：

　　an与Sn的关系，是一个非常重要的关系，根据这一关系，若知数列的前n项和Sn，则数列的通项an一定可求，但首项a1是否符合an= Sn－Sn－1，需进一步验证，若不符合，则an需用分段函数表示，否则可合写为一个式子．（1）中的不适合时的通项公式，故必须分类表达。

例2、若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an·an＋1·an＋2（n∈N），{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}中满足3a5=8a12>0，试问n多大时，Sn取得最大值？证明你的结论.

策略：

　　确定数列的单调性，利用不等式组 探讨{bn}中的项的正负关系是关键.

解答：∵ 3a5=8a12＞0，∴ 3a5=(8a5＋7d)

　　　解得

　　　∴ d<0, ∴

　　　故{an}是首项为正数的递减数列.

　　　

　　　

点评：

　　在等差数列中，求Sn的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，则从第①项起到该项的各项的和为最大（小），即（1）当a1>0,d<0时，解不等式组可得Sn达最大时的n值；（2）当an<0,d>0时，解不等式组可得Sn达最小值的n值.

例3、一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32︰27，求公差d.

分析：

　　此题若选用前n项和公式建立方程组显然运算量大，而运用等差数列有关性质、采取整体思维的策略，则可大大简化计算过程.

解答：设前12项中偶数项与奇数项和为S偶、S奇，依题意得

　　　

点评：在等差数列{an}中，

　　　（1）项数为2n时，则；

　　　（2）项数为2n－1时，则

　　　当{an}为等比数列时其结论可自己推导得出．

例4、设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1－an }（n∈N*）是等差数列，数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（II）是否存在k∈N*，使ak－bk∈（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.

分析：

　　本题是一个探索性问题，解决此类问题的基本思路是假设存在，是否能求出符合条件的k值．

解答：（I）由已知a2－a1=－2, a3－a2=－1, －1－(－2)=1，

　　　　　　∴an+1－an=(a2－a1)+(n－1)·1=n－3．

　　　　　　n≥2时，

　　　　　　an=( an－an－1)+( an－1－an－2)+…+( a3－a2) +( a2－a1)+ a1

　　　　　　　=(n－4)+(n－5) +…+(－1)+(－2)+6

　　　　　　　=．

　　　　　n=1也合适，∴an=(n∈N*)．

　　　　　又b1－2=4、b2－2=2 .而

　　　　　∴bn－2=（b1－2）·()n-1，即bn=2+8·()n，

　　　　　∴数列{an}、{bn}的通项公式为：an=，bn=2+()n-3．

　　（II）设

　　　　　　　　

　　　　　当k≥4时，为k的增函数，－8·()k也为k的增函数，

　　　　　而f(4)= ，

　　　　　∴当k≥4时，ak－bk≥．

　　　　　又f(1)=f(2)=f(3)=0 ，

　　　　　∴不存在k，使f(k)∈（0，）．

点评：

　　（II）中想直接解不等式是现在无法解决的，但运用了函数的思想，使本题得以解决．数列与函数的综合是常考的题型，学会从其知识的交汇处寻找问题解决的突破口．